2013-2014学年度上学期期中考试

高一数学试题【新课标】

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1. 已知全集
，则
▲ .

2. 若函数
是R上的奇函数，则
▲ .

3. 已知幂函数
的图象过点
，则
▲ .

4. 已知函数
，则f(2)= ▲ .

5．函数
的值域是 ▲ .

6. 若函数y=f(x)的图象经过点(1,-2)，则函数y=f(-x)+1的图象必定经过的点的坐标是

▲ .

7. 函数
的单调增区间是 ▲ .

8. 函数
的定义域是 ▲ .

9. 将log23，
，
，log0.53用“＜”从小到大排列 ▲ .

10. 已知A=B={(x,y)︱x∈R, y∈R }，从A到B的映射
，A中元素(m,n)与B中元素(4,-5)对应，则此元素为 ▲ .

11. 截止到1999年底，我国人口约13亿．如果今后能将人口年平均增长率控制在1﹪，那

么经过 ▲ 年后，我国人口数为16亿？（用数字作答，精确到年）

（不允许使用计算器，参考数据：
）

12. 函数
满足对任意
成立，则a的取值范围是 ▲
.

13．定义：区间
的长度为
，已知函数
定义域为

，值域为[0，2]，则区间
的长度的最大值为　　▲　　

14. 已知函数
的定义域是
，考察下列四个结论：

①若
，则
是偶函数；

②若
，则
在区间
上不是减函数；

③若f(x)在[a,b
上递增，且在[b,c]上也递增，则f(x)在[a,c]上递增；

④若
R，则
是奇函数或偶函数.

其中正确的结论的序号是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共90分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

计算：(1)
；

(2)
.

16．（本小题14分）

已知集合
，且
，求实数
的值．

17.（本小题满分14分）

已知函数
，
（
，且
）．

（1）求函数
的定义域；

（2）求使函数
的值为正数的
的取值范围．

18.（本小题满分16分）

某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益

与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）。

（1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；

（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

19.（本小题满分16分）

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立．

（1）函数
是否属于集合M？说明理由；

（2）若函数f(x)=
+b属于集合M，试求实数k和b满足的条件；

（3）设函数
属于集合M ，求实数a的取值范围．

20．（本小题16分）

已知函数
，
[－1，1]．

⑴当
时，求使f（x）=
的x的值；

⑵求
的最小值；

⑶关于
的方程

有解，求实数
的取值范围．

参考答案

一、填空题：

1. {1,2} 2. 0 3.
4. 9 5. (-1,1
6. (-1,-1) 7. (-∞,-1);(-1,+∞)

8.
9. log0.53<

12.
13.
14. ②

二、解答题：本大题共6小题，共90分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：（1）原式=2-3+
+
………………………………………4分(1个式子1分)

= 1 ………………………………………………7分

(2) 原式=
-1-
+
………………………………………4分(1个式子1分)

=
………………………………………………7分

16. 解. A={1,2} ……………………………………………………2分

A
B=B，B
A ……………………………………………………4分

m=0，B=
……………………………………………………7分

m·1-2=0，m=2 ……………………………………………………10分

m·2-2=0，m=1 ……………………………………………………13分

∴m=0，或1，或2 ……………………………………………………14分

17.解：（1）由题意可知，

， ……………1分

由
， ……………3分

解得
， ……………………………………5分

∴
，

∴函数
的定义域是
． ……………6分

（2）由
，得
，

即

， ① ……………8分

当
时，由①可得
，解得
，

又
，∴
； ……………10分

当
时，由①可得
，解得
，

又
，∴
． ……………12分

综上所述：当
时，
的取值范围是
；

当
时，
的取值范围是
． ……………14分

18. 解：（1）设投资为x万元，

A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，

由题意，
……………………………3分

又由图知f（1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得
……………………6分

∴
…………………………8分

(不写定义域扣1分）

（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，

记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，

则
……………10分

设
，则
，

∴
…………………………………12分

当
也即
时，y取最大值
……………14分

答：对股票等风险型产品B投资
万元，对债券等稳键型产品A投资
万元时，

可获最大收益
万元.（答1分，单位1分 ） ……………16分

19.解：（1）
，若
，则存在非零实数
，使得

， …………………………………2分

即
， …………………………………3分

因为此方程无实数解，所以函数
．………………………………4分

（2）
，由f(x)=
+b
M，存在实数
，使得

，
， ………………………6分

所以，k和b满足的条件是k>0，b
R.………………………………9分

（3）由题意，
，
．由
∈M，存在实数
，使得

， …………………………………10分

所以，

化简得(a-3)x02+2ax0+3a-6=0， ……………………………12分

当a=3时，x0= -
，符合题意． …………………………………13分

当
且a≠3时，

由△
得4a2-18(a-3)(a-2)≥0，化简得

2a2 - 15a+18≤0解得
且
…………………15分

综上，实数
的取值范围是
………………………16分

20.

令
………………………………………………………………2分

⑴当a=1时，由f（x）=
得：
，解得
.

由
得x=
; 由
得x=1,

x=1,或
. …………………………………………………6分

⑵

,
在
上单调递增,∴
.

…………………………………………………8分

当
时，

当
时，

当
时，
，

∴
……………………………………………………10分

⑶方程
有解，即方程
在
上有解，而

∴
，…………………………………………………………………………12分

可证明
在
上单调递减，
上单调递增…………………………14分

为奇函数，∴当
时

∴
的取值范围是
．……………………………………16分