2005年温州市第三届“摇篮杯”数学竞赛高一试卷

（2005年5月15日上午9：00—11：00）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1、数列
，
，
，
，…；从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前
项之和等于……………………………………………………………………（ ）

A．
B．
　　　 　C．
　　　　 　D．

2、函数
在区间（－2，＋∞）上单调递增，则
的取值范围是 ………………（ ）

A．
B．
或
C．
D．

3、函数
的图像不可能是 ………………………………………………………（ ）

A B C D

4、函数
的图像按向量
平移后所得图像对应的函数为……（ ）

A．
B．
C．
　D．

5、若不等式
恒成立，则实数m的取值范围是 ………（ ）

A．0≤m≤4 B．m≥1或m≤0 C．1≤m≤4 D． m≥4或m≤0

6、已知
，记
，其中
，且
，则 ……………………………………………………………（ ）

A．
B．
C．
D．不能确定

7、设
是正整数，
，而且
能被24整除，那么这样的
个数为…………（ ）A.4 B.5 C.9 D.10

8、甲、乙、丙三人中两人进行乒乓球单打比赛，一人当裁判，输方当下一局的裁判。比赛结束后发现甲打了12局，乙打了21局，而丙当裁判8局。那么比赛的第12局输方………（ ）

A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．三人都有可能

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。将答案填在题中横线上。）

9、数列
中，
，则

10、对于任意的
，函数
满足条件
，则
＝

11、2004年12月26日，印尼发生强烈地震，继而引发海啸。印尼地震监测机构最初公布的报告称，这次地震的震级为里氏6.8级，但美国地质勘探局测定的地震震级为里氏8.9级。已知里氏震级
与地震释放的能量
的关系为
。那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的 倍。（已知
）

12、方程
的自然数解集为

那么
的最大值为

13、把
表示成k项连续正整数的和，则项数k的最大值为

14、定义在非零实数集上的函数
满足
，且
在
上单调递增，则不等式
的解集为

三、解答题：本大题共3小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、（本小题满分12分）已知向量
，
，
。

（1）求
的值； （2）若
且
，求
的值。

16、（本小题满分14分）已知函数

（1）证明：
既不是奇函数又不是偶函数。

（2）求
的值域。

（3）若对于
定义域内的任意实数
，都能构造出一个无穷数列
，

使其满足条件
，求
的取值范围。

17、（本小题满分18分）数列
中，
，
。

（1）求数列
的通项公式。

（2）是否存在
，使得数列
的前n项和为
与
同时取到最小值，若存在，求
的取值范围。若不存在，说明理由。

（3）若
，数列
满足条件
，且
，求
的整数部分。

2005年温州市第三届“摇篮杯”数学竞赛高一试题参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）

1、[A] 2、[C] 3、[D] 4、[C]

5、[D] 6、[B] 7、[B] 8、[A]

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）

9、
10、0 11、1413

12、8 13、486 14、

解答题（说明：评阅试卷时，请按照评分标准，2分一档，不要再增加其他档次。）

三、解：

（1）由已知，
2－2
·
＋
2＝ ――――　　　　　　　　 ――（2分）

且
2＝
2＝1，所以
·
＝　 ――――――（4分）

即
，所以
――――――（6分）

（2）由已知，
，

所以
，
――――――（8分）

――――（10分）

＝
――――――（12分）

四、证明：

（1）函数的定义域为

∵
，
――――――（2分）

且

既不是奇函数又不是偶函数； ――――（4分）

（2）令
，
，

――――― ―（6分）

令
，
则
在
递增，在
递减 ― ―（8分）

所以函数的值域为
―――――（10分）

（3） 由题意可知，函数f(x)的值域B应为定义域A的子集，即
――――――（12分）

的取值范围为
――――――（14分）

五、解：

⑴由于
（n∈N*），∴
∴
。

∴{an}的奇数项与偶数项分别是公差为4的等差数列。

又
∴
，

∴
――――― ―（4分）

（2）
―――― ――（6分）

当n＝14时，
取到最小值为－196，

当n=13或15时，
取到最小值为
， ――― ―（8分）

∵

当
时，n＝14取到最小值。∴－168+a≥－196，

即a≥－28 ∴

当
时，n＝13或15取到最小值。

∴－168+a≤－196， 即a≤－28 ∴a不存在 ―― ――――（10分）

综上，存在这样的实数
，取值范围为
― ―（12分）

（3）由已知b2n+1＝b2n＋＋2，即b2n+1－b2n＝＋2

由累差迭加得b2100－b21＝（＋＋…＋）＋198>198

∴b100>14 （14分）

显然{bn}递增，b1＝a15＝1，b2＝2，当n>2时，bn>2，

∴b2100－b21＝＋（＋…＋）＋198<1＋＋198<224

∴b100<15 （16分）

∴b100的整数部分为14 （18分）