北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高一期末质量检测

数学试卷

本试卷满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1. 与角－70°终边相同的角是

A. 70° B. 110° C. 250° D. 290°

2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为

A.
B.
C.
D.

3. 已知向量a＝
，b＝
，若向量a和b方向相同，则实数x的值是

A. －2 B. 2 C. 0 D.

4. 函数
的单调递增区间是

A.
　B.

C.
　　D.

5. 若直线过点（1，1），（2，
），则此直线的倾斜角的大小为

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

6. 在等差数列
中，
，则
的值为

A. 5 B. 6 C. 8 D. 10

7. 如图所示， M是△ABC的边AB的中点，若
，则
＝

A.
B.
C.
D.

8. 与直线
关于直线
对称的直线的方程是

A.
B.

C.
D.

9. 设
为等比数列
的前n项和，已知
，则公比q等于

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 已知直线过点A（1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是

A.
和
B.
和

C.
和
D.
和

11. 设
满足约束条件
，则
的最大值为

A. －8 B. 3 C. 5 D. 7

12. 点
是函数
图象上的点，已知点Q（2，0），O为坐标原点，则
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在题中横线上。

13. 如果
，且
为第四象限角，那么
的值是__________。

14. 在△ABC中，若
150°，则△ABC的面积为__________。

15. 将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，则
的值是__________。

16.
＝__________。

17. 已知点
到直线
的距离为1，则
__________。

18. 定义运算符号：“
”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作
，记
，其中
为数列
中的第i项。

①若
，则
＝__________；

②若
，则
＝__________。

三、解答题：本大题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. （9分）已知向量
。

（Ⅰ）当
时，求向量a与b的夹角的余弦值；

（Ⅱ）当
时，求｜b｜。

20. （9分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为
，且
。

（Ⅰ）当A＝30°时，求a的值；

（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求
的值。

21. （9分）已知直线
。

（Ⅰ）求过直线
与
的交点，且垂直于直线
的直线方程；

（Ⅱ）过原点O有一条直线，它夹在
与
两条直线之间的线段恰被点O平分，求这条直线的方程。

22. （10分）已知函数
。

（Ⅰ）求
的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若
为
的一个零点，求
的值。

23. （9分）已知等差数列
中，公差
，其前n项和为
，且满足
，
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式及其前n项和
；

（Ⅱ）令
，若数列
满足
。求数列
的通项公式
；

（Ⅲ）求
的最小值。

【试题答案】

一、选择题（每小题3分，共36分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.
； 14. 1； 15.
； 16.
17.
；

18. 280，

三、解答题（共56分）

19. （9分）

（Ⅰ）
，
，
。

∴向量a与向量b的夹角的余弦值为
。 4分

（Ⅱ）依题意
。

。
。
。
。

。 9分

20. （9分）

（Ⅰ）因为
，所以
。

由正弦定理
，可得
。所以
。

（Ⅱ）因为△ABC的面积
，

所以
。由余弦定理
，

得
，即
。

所以
，所以
。

21. （Ⅰ）由
得

∵所求的直线垂直于直线
，∴所求直线的斜率为
，

∴所求直线的方程为
。 4分

（Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为
，不合题意。

所以设所求的直线方程为
。

所以它与
的交点分别为
。

由题意，得
。

解得
。

所以所求的直线方程为
。 9分

22. （Ⅰ）

，

所以
的最小正周期为
。
的值域为
。

（Ⅱ）由
，得
。

又由
，得
。

因为
，所以
，

所以
。

此时，

。 10分

23. （Ⅰ）因为数列
是等差数列，所以
。

因为
，所以 解方程组
得

所以
所以
。

因为
，所以
。

所以数列
的通项公式
，前n项和公式
。 4分

（Ⅱ）因为
，所以
。

因为数列
满足
，

所以
，

，

…，…

，

所以
。

因为
，所以
，

所以
。

所以
。 6分

（Ⅲ）因为
，所以
。

因为
，

所以
。

所以
，当且仅当
，即
时等号成立。

所以 当
时，
最小值为
。 9分