4.2.3　直线与圆的方程的应用

一、基础过关

1．已知两点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 (　　)

A．9π B．8π C．4π D．π

2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 (　　)

A．6－2 B．8 C．4 D．10

3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为 (　　)

A. B．－ C. D．－

4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 (　　)

A．3－ B．3＋ C．3－ D.

5．已知圆x2＋y2＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为________．

6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

7．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

(1)当m为何值时，方程C表示圆；

(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．

8. 如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．

二、能力提升

9．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是 (　　)

A．[－3，3] B．[－3,3]

C．(－3,3] D．[－3，3)

10．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间是 (　　)

A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h

11．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为______米．

12．等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|＝|BC|，|CE|＝|CA|，AD、BE相交于点P，求证：AP⊥CP.

三、探究与拓展

13．有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10 km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)

答案

1．C　2．B　3．A　4．A　

5．4

6．(－13,13)

7．解　(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当5－m>0，即m<5时，方程C表

示圆．

(2)圆的方程化为

(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

圆心C(1,2)，半径r＝，

则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.

∵|MN|＝，∴|MN|＝.

根据圆的性质有

r2＝d2＋2，

∴5－m＝2＋2，得m＝4.

8．解　以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则

O1(－2,0)，O2(2,0)．

由已知|PM|＝|PN|，

∴|PM|2＝2|PN|2.

又∵两圆的半径均为1，

所以|PO1|2－1

＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，

则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.

∴所求动点P的轨迹方程为 (x－6)2＋y2＝33.

9．C 10．B　

11．2

12．证明　以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立平面直角坐标系．则A(3,3)，B(0,0)，C(6,0)．由已知，得D(2,0)，E(5，)．直线AD的方程为y＝3(x－2)．

直线BE的方程为y＝(x－5)＋.

解以上两方程联立成的方程组，

得x＝，y＝.

所以，点P的坐标是(，)．

直线PC的斜率kPC＝－.

因为kADkPC＝3×(－)＝－1，

所以，AP⊥CP.

13．解　以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．

|AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则A地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3＝，

整理得(x＋)2＋y2＝()2.①

所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．