时量：120分钟 满分：120分

选择题（每小题4分共32分）

1、设
，则
的定义域为（ ）

A.
B.
C.
D.

2、函数
的零点个数有 ( )个

A．1 B．2 C．3 D．无数个

3、计算
的结果是 ( )

A．
B．
Ｃ．
D．

4、正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线A1C异面且所成角大于
的棱的条数为 ( )

A．4 B．6 C．8 D．10

5、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（ ）

A．
　 B．
　 C．
　　 D．

6、、三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等，那么这个三棱锥顶点在底面三角形所在平面上射影O必是底面三角形的 ( )

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

7、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是(　　)

A．平行 B．相交且垂直 C．异面 D．相交成60°

8、设
是两条直线，
是两个平面，则下列命题成立的是（ ）

①a⊥b，a⊥α，b在平面α外，则b∥α；②a∥α，α⊥β，则a⊥β；

③α⊥β，a⊥β，则a∥α；④a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β。

A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）

二、填空题. （每小题4分共28分）

9、求函数y =
的值域为

10、函数
在
上是奇函数,则
的解析式为________

11、、若
在区间
上是增函数，则的取值范围是 。

12、各棱均为2的正四棱锥的内切球的半径为 。

13、已知圆台的上、底底面半径分别为r、 R，且侧面面积等于两底面积之和，则圆台的母线长=

14、已知正三棱柱
底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成
角的截面面积是______

15、、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,若E、G分别为C1D1、BB1的中点，F是正方形ADD1A1的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 。

解答题（6+6+8+8+8+12+12=60）

16、（6分）如图，a、b是异面直线，
求证：

17、（6分）设
且
，求函数
的最值

18、（8分）如图：在二面角
中，Ａ、Ｂ
，Ｃ、Ｄ
，ＡＢＣＤ为矩形，
且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中点，

（１）求二面角
的大小.

（２）求异面直线MN与
所成的角的大小.

19、（8分）在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,

AD∥BC, AC⊥BD.

(Ⅰ)证明:BD⊥PC;

(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.

20、（8分）已知某产品生产成本C关于产量q（
的函数关系式为
，销售单价p关于产量q的函数关系式为
.

产量q为何值时，利润最大？

产量q为何值时，每件的平均利润最大？

21、（12分）如图，长方体
中，
，
，

点为
的中点。

（1）求证：直线
∥平面
；

（2）求证：平面
平面
；

（3）求证：直线
平面
。

22、（12分）如图，边长为3的正方形ABCD中

点E、F分别是AB、BC上的点，将
分别沿EF、DE、DF折起，使A、B、C三点重合于点P, 求PD与平面EFD所成角的正弦值

当
时，将
分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点Q, 求点E到平面QDF的距离.

数学答卷

选择题答案（每题4分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案



















填空题答案（每题4分）

9、 10、 11、

12、 13、 14、 15、

三、解答题（写出必要的解答过程和推理步骤，6+6+8+8+8+12+12=60）

16、（6分）如图，a、b是异面直线，
求证：

17、（6分）设
且
，求函数
的最值

18、（8分）如图：在二面角
中，

Ａ、Ｂ
，Ｃ、Ｄ
，ＡＢＣＤ为矩形，
且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依

次是ＡＢ、ＰＣ的中点，

（１）求二面角
的大小.

（２）求异面直线MN与
所成的角的大小.

19、（8分）在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC, AC⊥BD.

(Ⅰ)证明:BD⊥PC;

(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.

20、（8分）已知某产品生产成本C关于产量q（
的函数关系式

为
，销售单价p关于产量q的函数关系式为
.

产量q为何值时，利润最大？

产量q为何值时，每件的平均利润最大？

21、（12分）如图，长方体

中，
，
，点为
的中点。

（1）求证：直线
∥平面
；

（2）求证：平面
平面
；

（3）求证：直线
平面
。

22、（12分）如图，边长为3的正方形ABCD中

点E、F分别是AB、BC上的点，将
分别沿EF、DE、DF折起，使A、B、C三点重合于点P, 求PD与平面EFD所成角的正切值

当
时，将
分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点Q, 求点E到平面QDF的距离.