§4.2　直线、圆的位置关系

4.2.1　直线与圆的位置关系

一、基础过关

1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是 (　　)

A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交

2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为(　　)

A．y＝2x B．y＝2x－2

C．y＝x＋ D．y＝x－

3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 (　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是 (　　)

A．在圆上 B．在圆外

C．在圆内 D．都有可能

5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．

7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．

8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．

二、能力提升

9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为 (　　)

A．1 B．2 C. D．3

10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________________．

12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．

(1)求四边形PACB面积的最小值；

(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明

理由．

三、探究与拓展

13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；

(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．

答案

1．D　2．A　3．A　4．B　

5．4

6．(x－3)2＋y2＝4

7．解　设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.

由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，

∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

8．解　假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．

解方程组

得AB的中点N的坐标N(－，)，

由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.

又|AN|＝＝，

|ON|＝.

所以9－＝2＋2，解得m＝1或m＝－4.

所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．

9．C　10．C　

11．x2＋y2＝4

12．解　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．

圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，

所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.

因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，

所以当|PC|2最小时，|AP|最小．

因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.

所以当x＝－时，|PC|＝9.

所以|AP|min＝＝2.

即四边形PACB面积的最小值为2.

(2)假设直线上存在点P满足题意．

因为∠APB＝60°，|AC|＝1，

所以|PC|＝2.

设P(x，y)，则有

整理可得25x2＋40x＋96＝0，

所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．

13．(1)证明　∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．

∴l过的交点M(3,1)．

又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝＝<5，

∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．

(2)解　∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.

∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.

此时，kCM＝－，kl＝－.

∵l⊥CM，∴·＝－1，

解得m＝－.

∴当m＝－时，取到最短弦长为4.