3.3.2　两点间的距离

一、基础过关

1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于 (　　)

A．0或8 B．0或－8

C．0或6 D．0或－6

2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 (　　)

A．5 B．4 C．2 D．2

3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是 (　　)

A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋2

4．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 (　　)

A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5

C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5

5． 已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．

6．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．

7．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．

8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．

二、能力提升

9．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是(　　)

A．(－1,0) B．(1,0) C. D.

10．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为 (　　)

A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0

C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0

11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．

12．△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．

三、探究与拓展

13．已知直线l过点P(3,1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．

答案

1．A　2．C　3．C　4．B　

5.　6.(2,10)或(－10,10)

7．解　由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．

由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，

化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.

当x0＝1时，AB方程为x＝1，

当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0.

综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

8．证明　如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，

以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝c，

又由中点坐标公式，

可得D，E，

所以|DE|＝－＝，

所以|DE|＝|AB|.

即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．

9．B　10．A　

11．2

12．证明　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．

设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．

因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距离公式可得

b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，

即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．

又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.

所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．

13．解　设直线l与直线l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，

两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5①

又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②

联立①②可得

或，

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，

故所求的直线方程为x＝3或y＝1.