北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高一期末考试

数学试卷

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 在数列
中，
，且
，则
等于（ ）

（A）8 （B）6 （C）9 （D）7

2. 将一根长为3m的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m的概率是

（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）

（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定

4. 若
，则下列不等式中成立的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 若实数x，y满足
则
的最小值是（ ）

（A）
（B）0 （C）1 （D）－1

6. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）

（A）2

（B）

（C）3

（D）

7. 已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ ）

（A）B与C互斥 （B）A与C互斥

（C）任意两个事件均互斥 （D）任意两个事件均不互斥

8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9. 设O为坐标原点，点A（4，3），B是x正半轴上一点，则△OAB中
的最大值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

10. 对于项数为m的数列
和
，记bk为
中的最小值。给出下列判断：

①若数列
的前5项是5，5，3，3，1，则
；

②若数列
是递减数列，则数列
也一定是递减数列；

③数列
可能是先减后增数列；

④若
，C为常数，则
。

其中，正确判断的序号是（ ）

（A）①③ （B）②④ （C）②③ （D）②

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

11. 不等式
的解集为________________。

12. 在△ABC中，
，则a=___________。

13. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表。

已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。则x=_____；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为____________。

一班

二班

三班



女生人数

20

x

y



男生人数

20

20

z



14. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知甲、乙二人得分的平均数相等，则m=________；乙得分的方差等于____。

15. 设
是等差数列，Sn为其前n项的和。若
，则
_______；

当Sn取得最小值时，n=__________。

16. 当x∈[1，9]时，不等式
恒成立，则k的取值范围是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分13分）

在等比数列
中，
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
是等差数列，且b2 =a2，b4=a4。求数列
的公差，并计算
的值。

18. （本小题满分13分）

某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：

61 76 70 56 81 91 55 91 75 81

88 67 101 103 57 91 77 86 81 83

82 82 64 79 86 85 75 71 49 45

（Ⅰ）完成下面的频率分布表；

（Ⅱ）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；

（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内的概率。

分组

频数

频率



[41，51）

2





[51，61）

3





[61，71）

4





[71，81）

6





[81，91）







[91，101）







[101，111）

2







19. （本小题满分13分）

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知c=3，
。

（Ⅰ）若sinB=2sinA，求a，b的值；

（Ⅱ）求a2+b2的最大值。

20. （本小题满分14分）

已知函数
。

（Ⅰ）当a=1时，求
在区间[－1，2]上的值域；

（Ⅱ）若函数
在区间
上是减函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）解关于x的不等式
。

21. （本小题满分14分）

设数列
的前n项和为Sn，且
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
。

（i）求数列
的前n项和Tn；

（ii）求bn的最大值。

22. （本小题满分13分）

对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中
，且
。这种“T变换”记作B=T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：cl，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束。

（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；

（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；

（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值。

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，

11.
12.
13. 24 9

14. 6，8.4 15. －11，6 16.

注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分：

三、解答题：本大题共3小题，共36分，

17. 解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为q，

由已知，
…………2分

两式相除，得q=2。 …………4分

所以a1=2， …………6分

所以数列
的通项公式
。 …………7分

（Ⅱ）设等差数列
的公差为d，

则
………………9分

解得
………………11分

………………12分

…………13分

18. 解：（Ⅰ）如下图所示。 ……………………4分

（Ⅱ）如下图所示。………………6分

由己知，空气质量指数在区间[71，81）的频率为
，所以a= 0.02。……8分

分组

频数

频率



…

…

…



[81，91）

10





[91，101）

3





…

…

…





（Ⅲ）设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”，

由己知，质量指数在区间[91，101）内的有3天，

记这三天分别为a，b，c，

质量指数在区间[101，111）内的有2天，

记这两天分别为d，e，

则选取的所有可能结果为：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。

基本事件数为10。………………10分

事件“至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”的可能结果为：

（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。

基本事件数为7， ………………12分

所以
………………13分

19. 解：（Ⅰ）因为sin B=2sinA，由正弦定理可得b=2a，………………3分

由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC， ………………5分

得9=a2 +4a2 －2a2， ………………7分

解得a2=3， ………………8分

所以
………………9分

（Ⅱ）由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC，得ab=a2+b2－9，………………10分

又a2 +b2≥2ab， ………………11分

所以a2+b2≤18，当且仅当a=b时，等号成立。 ………………12分

所以a2+b2的最大值为18。 ………………13分

20. 解：（Ⅰ）当a=l时，
，

函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增

所以，
在区间
上的最小值为
…………2分

又
。

所以
在区间
上的最大值为
…………………3分

在区间
上的值域为
…………………4分

（Ⅱ）当a=0时，
，在区间
上是减函数，符合题意……5分

当
时，若函数
在区间
上是减函数，

则
，且
， ……………………7分

所以－1≤a<0， ……………………9分

所以a的取值范围是[－1，0]

（Ⅲ）由已知，解不等式
。

当a=0时，x>－1。 ……………………10分

当a>0时，
，解得
………………11分

当a<0时，
，

若
，即
时，
； ………………12分

若
，即
时，
或
………………13分

若
，即
时，
或
………………14分

综上，当a>0时，不等式的解集为
;

当a=0时，不等式的解集为
；

当－1

当a =－1时，不等式的解集为

当a<－1时，不等式的解集为

21. 解：（Ⅰ）由已知，当n=1时，
。………………1分

当
时，
………………2分

………………3分

综上，
………………4分

（Ⅱ）（i）

所以
………………5分

……6分

两式相减，得
…8分

所以
………………10分

（ii）因为
……11分

令
，得
………………12分

所以
，且
，即
最大， ………………13分

又
。

所以，
的最大值为
………………14分

22. 解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为

4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…………3分

所以，数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列为2，0，2，……4分

（Ⅱ）数列A经过不断的“T变换”不可能结束

设数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，F：O，0，0，且T（D）=E，T（E）=F

依题意
，所以

即非零常数列才能通过“T变换”结束。…………①…………6分

设
（e为非零自然数）。

为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能

而任何一种可能中，数列E的笫三项是O或2e。

即不存在数列D，使得其经过“T变换”成为非零常数列。……②……8分

由①②得，数列A经过不断的“T变换”不可能结束。

（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，其结构为a，a+3，3。

数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：3，a，a－3；a－3，3，a－6：a－6，a－9，3;3，a－12，a－9;a－15，3，a－12;a－18，a－15，3。

所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18。 ……10分

因为398 =18×22+2，所以，数列B经过6×22 =132次“T变换”后得到的数列为2，5，3。

接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1;1，0，1，……。

至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小。……12分

所以经过1+132+3 =136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，

即k的最小值为136。 ………………13分