4.1.2　圆的一般方程

一、基础过关

1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是 (　　)

A．m≤2 B．m＜ C．m＜2 D．m≤

2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于 (　　)

A．1 B. C. D．2

3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是(　　)

A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0

C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0

4．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0

A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外

5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．

6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.

7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．

8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．

二、能力提升

9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是 (　　)

A．x－y＝0 B．x＋y＝0

C．x2＋y2＝0 D．x2－y2＝0

10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 (　　)

A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0

C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0

11． 已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

12．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．

三、探究与拓展

13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．

答案

1．B　2.D　3．B　4．B　

5．(0，－1)

6．－2

7．解　设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2

＝4.圆心C(3,3)．

∵CM⊥AM，

∴kCM·kAM＝－1，

即·＝－1，

即x2＋(y＋1)2＝25.

∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．

8．解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，

所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；

由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①

又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，

所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②

1＋9－D＋3E＋F＝0，③

由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.

9．D　10．A　

12．解　设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．

由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，

所以x＝，y＝，

于是有x0＝2x－3，y0＝2y.

因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，

所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，

则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.

所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.

13．解　设圆的方程为：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①

将P、Q的坐标分别代入①，

得

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④

由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．

∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2

＝E2－4F＝48.⑤

解②③⑤联立成的方程组，

得或.

故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.