4.3.2　空间两点间的距离公式

一、基础过关

1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为 (　　)

A. B．25 C．5 D.

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 (　　)

A．9 B. C．5 D．2

3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于 (　　)

A. B. C. D.

4．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足 (　　)

A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0

C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4

5．若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．

6．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.

7．在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．

8. 如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．

二、能力提升

9．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是 (　　)

A．A、B、C三点可以构成直角三角形

B．A、B、C三点可以构成锐角三角形

C．A、B、C三点可以构成钝角三角形

D．A、B、C三点不能构成任何三角形

10．已知A(x,5－x, 2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为 (　　)

A．19 B．－ C. D.

11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．

12. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．

三、探究与拓展

13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．

答案

1．C　2.B　3.B　4．B　

5．x2＋z2－y2＝0　6.0或－4

7．解　设P(0，y，z)，由题意

所以

即，所以，

所以点P的坐标是(0,1，－2)．

8．解　由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，

设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，

∴BD＝2，CD＝2，z＝，y＝－1.

∴D(0，－1，)．又∵A(，，0)，

∴|AD|

＝＝.

9．A　10．C　

11．(0，－1,0)

12．解　如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C(3,3,0)，

D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，

∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，

∵N为CD1的中点，∴N.

M是A1C1的三等分点且靠近A1点，

∴M(1,1,2)．

由两点间距离公式，得|MN|

＝

＝.

13．解　∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，∴可设M(x,1－x,0)．

∴|MN|＝



＝≥，

当且仅当x＝1时取等号，

∴当点M的坐标为(1,0,0)时，

|MN|min＝.