章末检测

一、选择题

1．方程x2＋y2＋2ax＋2by
＋a2＋b2＝0表示的图形是 (　　)

A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)

D．点(－a，－b)

2．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为 (　　)

A．点在圆外 B．点在圆内

C．点在圆上 D．与m的值有关

3．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为，则x的值为 (　　)

A．2 B．－8

C．2或－8 D．8或－2

4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 (　　)

A．[－3，－1] B．[－1,3]

C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

5．设A、B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 (　　)

A．4x－3y－
2＝0 B．4x－3y－6＝0

C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝0

6．圆x2＋y2－4x＝0过点P(1，)的切线方程为 (　　)

A．x＋y
－2＝0 B．x＋y－4＝0

C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0

7．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是 (　　)

A．相离 B．相切

C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心

8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
(　　)

A．5 B．10 C. D.

9．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为 (　　)

A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11

10．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 (　　)

A．l与C相交 B．l与C相切

C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能

11．若直线mx＋2ny－4＝0(m、n∈
R，n≠
m)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值范围是 (　　)

A．(0,1) B．(0，－1)

C．(－∞，1) D．(－∞，－1)

12．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为 (　　)

A．4 B．2 C. D.

二、填空题

13．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为_
_______．

14．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.

15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．

16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝
kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．

三、解答题

17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

18． 已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．

19．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．

(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；

(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．

20．如图，已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，

且有|PQ|＝|PA|.

(1)求a、b间关系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最

小的圆的方程．

[来源:Z&xx&k.Com]

答案

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1．D　2．A　3．C　4．C　5．B　6．D　7．C　8．D　9．A　10．A　11．C　12．A　

13．2x＋3y＋8＝0

14．3

15．±5

16.

17．解　如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，

即kx－y＋3＋3k＝0.

则＝1，即12k2＋25k＋12＝0.

∴k1＝－，k2＝－.

则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.

18．解　设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得

x1x2＋y1y2＝0，

由

可得5y2－20y＋12＋m＝0.①

所以y1y2＝，y1＋y2＝4.

又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)

＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2

＝9－24＋
(12＋m)，

所以x1x2＋y1y2＝9－24＋(12＋m)＋＝0，

解得m＝3.

将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m
＝3满足题意，即3为所求m的值．

19．(1)证明　配方得：(x－3m)2
＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，

则，

消去m得x－3y－3＝0，

则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．

(2)解　设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，

则圆心到直线l1的距离为

d＝＝.

∵圆的半径为r＝5，

∴当d

当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；

当d>r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．

(3)证明　对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离d＝，

弦长＝2且r和d均为常量．

∴任何一条平行于l且与圆
相交的直线被各圆截得的弦长相等．

20．解　(1)连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，

又|PQ|＝|PA|，

所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|PA|2，

所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.

(2)由|PQ|2
＝|OP|2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－

12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，

得|PQ|min＝.

(3)以P
为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r＝－1＝－1，

又l′：x－2y＝0，联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．

所以所求圆的方程为

(x－)2＋(y－)2＝(－1)2.