4.2.2　圆与圆的位置关系

一、基础过关

1．已知0

A．外切 B．相交 C．外离 D．内含

2．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是(　　)

A．(－2,39) B．(0,81) C．(0,79) D．(－1,79)

3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有 (　　)

A．2条 B．3条 C．4条 D．0条

4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25

B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15

C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9

D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9

5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.

6．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．

7．a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.

(1)外切；(2)内切．

8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．

二、能力提升

9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是 (　　)

A．a2－2a－2b－3＝0

B．a2＋2a＋2b＋5＝0

C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0

D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0

10．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是 (　　)

A．a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤5

11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m) 2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．

12．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2：

(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．

三、探究与拓展

13．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．

答案

1．B 2．D　3．B　4．D　

5．±1

6．3或7

7．解　将两圆方程写成标准方程，得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.

设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.

(1)当d＝3＋2＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或2.

(2)当d＝3－2＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或－2.

8．解　把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，

(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.

如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－ 2)，半径长是2.

所以，

|C1C2|＝＝.

因此，|MN|的最大值是＋5.

9．B　10．D　

11．4

12．解　对圆C1、C2的方程，经配方后可得：

C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，

C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C1(a,1)， r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，

∴|C1C2|＝＝a，

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切．

当|C1C2|＝|r1－r2|＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3<|C1C2|<5，即3

(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．

(4)当|C1C2|<3，即0

13．解　设圆B的半径为r，因为圆B的圆心在直线l：y＝2x上，所以圆B的圆心可设为(t,2t)，

则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，

即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①

因为圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②

所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为

(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③

因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，

所以当t＝－时，rmin＝.

此时，圆B的方程是

2＋2＝.