2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2006年4月16日

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

题号

一

二

三

总分









15

16

17





得分















一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

得分

评卷人



答案























1、设Ａ到Ｂ的映射f：x
y=(x－1)
,若集合
，则集合B不可能是（▲）

A、
B、
C、
D、

2、若命题Ｐ：
；Ｑ：
，则命题
Ｐ是
Ｑ成立的（▲）条件

Ａ、充分不必要　　 Ｂ、必要不充分　 Ｃ、充要　　 Ｄ、既不充分也不必要

3、设
，则
的值为（▲）

A、
B、
C、
D、

4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）

A、
B、
C、
D、

5、设正整数集
，已知集合
，
，
，若

，则下列结论中可能成立的是（▲）

A、
B、

C、
D、

6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J，Q，K；则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二进制”数时应为（▲）位数。

A、13 B、12 C、11 D、10

7、设函数
，若
对于一切
都成立，则函数
可以是（▲）

A、
B、
C、
D、

8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前
项和为
,则
等于（▲）

A、502501 B、520502

C、502503 D、以上都不对

得分

评卷人









二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

9、现定义
，若
，
，则集合B可以是___________（写出一个即可）.

10、在等差数列
中，若
，则正整数
的值为_________________.

11、某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

明文 密文 密文 明文

现设解密密钥为：
，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”．

12、设
表示不超过
的最大整数，则对函数
在定义域内有以下判断：（1）存在最大值与最小值；（2）是周期函数；（3）是增函数；（4）是偶函数。

其中正确的有___________（填上相应的序号即可）。

13、若函数
的图象关于原点对称，则实数
的最小正值为_________________。

14、若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是_________。

得分

评卷人









三、解答题：本大题共3小题，共54分。

15、（本题满分16分）已知函数
.

(1)若
，写出它的单调递增区间；

(2)若对于
的任意实数
都有
成立，试求实数
的范围.

得分

评卷人









16、（本题满分18分）如图，已知
，BC=9
，现有两个质点甲、乙同时从C点出发，甲沿路线
以每秒2
的速度匀速向前移动，乙沿路线
以每秒1
的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足
，最后它们同时到达A点。

（1）试判断
的形状；

（2）设在
时刻，甲、乙分别到达E、F处，试确定
CEF的面积S与
的关系，并求出S的最大值。

得分

评卷人









17、（本题满分20分）已知函数
。利用函数
构造一个数列
，方法如下：对于定义域中给定的
，令
，…

如果取定义域中任一值作为
，都可以用上述方法构造出一个无穷数列
。

（1）求实数
的值；

（2）若
，求
的值；

（3）设
,试问：是否存在n使得
成立，若存在，试确定n及相应的
的值;若不存在，请说明理由？

2006年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，共48分）

题号

１

２

３

４

５

６

７

８



答案

C

A

D

A

C

B

D

C



二、填空题（每小题8分，共48分）

９、
或
等 10、15 11、2 12、（2） 13、
　 14、

三、解答题（共5４分）

15、解(1)所求函数的单调递增区间为
与
—————6分

(2)易知已知函数为偶函数，则当
时为减函数。

对于
时,

—————8分

设
,

由题意得:
, 或
—————14分

则
或
—————16分

16、解（1）如图，由题意可得：
，则AC=12，从而可得AB=15，则
ABC是以AB为斜边的直角三角形。 —————6分

（2）当甲在
的过程中时，
CEF是直角三角形，则它的面积为
， —————10分

当甲在
的过程中时，易知EF//BD，

可知
，令
，

则
由EF//BD得
，

故
CEF的面积
，

故
————16分

易知当
时有最大值
；当
时有最大值
，故
CEF的面积的最大值为
。——18分

17、（1）求证：

（1）解：根据题意可知，
，则
，且方程
无解, ——2分

即当
时方程
无解 由于
不是方程
的解

所以对于任意
无解。

则
，且
，故
。 —————6分

（2）当
时，对于
，有
，

同理得
对一切
都成立，即数列
是一个以2为周期的周期数列。 ——10分

则
，

故
—————12分

解法二：由上可知，
，则
，从而可得出结果。

（3）由（2）易知：
—————14分

则
,若
，

则
,

又
—————18分

故当
，
或
，
时
—20分