成都市实验外国语学校高2013级（高一）10月月考数学试题

命题人：赵光明

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共1
0小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1、若集合
，集合
，则
等于（ D ）

A．
B．
C．
D．

2、集合
的子集中，含有元素
的子集共有（ B ）

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

3、下列函数中与
图象相同的一个是（ D ）

A.
B.
C.
D.

4、设函数
，则
的表达式是（ B ）

A．
B．
C．
D．

5、
，集合
，如果
，那么
的范围是（ D ）

A．
=2 B.

2 C.
= --2 D

--2

6、下列图形中表示函数图象的是（ C ）

A
B C D

7、函数
的定义域为
且
若对于任意给定的不等实数
，

不等式
恒成立，则不等式
的解集为 （ A ）

A.
B.
C.
D.

8、已知映射
，其中
，对应法则
，对于实数
在集合A中存在两个不同的原像，则
的取值范围（ C ）

A.
B．
C．
D．

9、方程
在
内有解，则实数
的取值范围是（ B ）

A
B
C
D

定义在R上的函数
，若关于
的方程
恰

有5个不同的实数解
，则
=（ B ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

填空题(共5个小题,每小题5分,共25分)

11、已知集合
,集合
,则

12、
的定义域为_
_．

13、
，则
_３７______。

14、函数
的值域为＿
＿．

15、已知函数
是R上的增函数，则
的取值范围是_

三、解答题(解答应写必要的文字说明,证明过程或演算步骤.共6小题满分75分)

16、已知
若
求实数
的值

解：若
则
，此时
与互异性矛盾。

若
，则
，当
，
，当
时，
舍去故此时
。

若
时，则
。由上可知都舍去。

综上可知，

17、 设集合
，
，
.

（1）若
，求实数
的取值范围；

（2）若
且
，求实数
的取值范围.

解：（1）
∵
∴
∴

即实数
的取值范围是
.

（2）
∵
∴

∵
，

∴
可得

即实数
的取值范围是
.

18．已知函数

(1)证明：函数
满足

(2)将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像，并写出函数的值域；

(3)在同一坐标系中画出直线
，观察图像写出不等式
的解集.

解：（1）

是偶函数

（2）

由函数图象知，函数的值域为

（3由函数图象知，不等式的解集为

19、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的一
年收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

解：（1）设
，
， 所以
，
，

即
，
；

（2）设投资债券类产品
万元，则股票类投资为
万元，

依题意得：


，

令

，则

，

所以当
，即
万元时，收益最大，
万元．

20、设函数
,其中
,区间
.

(Ⅰ)求
的长度(注:区间
的长度定义为
）

(Ⅱ)给定常数
,当
时,求
长度的最小值.

解:(1)令

解得

的长度

(2)
则

由 (1)

，

故
关于
在
上单调递增,在
上单调递减.

比较二者大小可知

21、定义在
上的函数
当
时，
，且对任意的
有
。

（1）求证：
， （2）求证：对任意的
，恒有
；

（3）若
，求
的取值范围。

（1）证明：

（2）证明：设
，则
，

。故由（1）及已知可得对任意的
，恒有

解：任取
且

。即

故
在
上是增函数。

由
可得

其解集