第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．函数
的值域是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数

的最小正周期为，则函数
的一个单调增区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知O、A、M、B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)，λ∈(1,2)，则（ ）

A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线

6．若
，
,
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设﹑
为钝角，且
，
，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．
或

9．已知函数
，若有四个不同的正数
满足
（
为常数），且
，
，则
的值为（ ）

A． 10 B．12 C．20 D． 12或20

10．定义域为R的函数
，若关于的方程
有3个

不同实数解
，且
，则下列说法错误的是（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知
，则
______________．

12．函数
的定义域为______________．

13．函数
，
的单调递增区间为______________．

14．在等腰
中，
是
的中点，则
在
方向上的投影是 ．

15．已知函数
若函数
有3个零点，则实数的取值范围是_______________．

三、解答题:本大题有6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：
．

(I)求
的值；

(II)求
的值．

17．（本小题满分12分）已知
，
，求
的值．

18．（本题满分12分）某商店经销一种商品，每件进价7元，市场预计以每件20元的价格销售时该店一年可销售2000件，经过市场调研发现每件销售价格在每件20元的基础上每减少一元则增加销售400件，而每增加一元则减少销售100件，现设每件的销售价格为元，为整数.

(I)写出该商店一年内销售这种商品所获利润 (元)与每件的销售价格 (元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；

(II)当每件销售价格为多少元时，该商店一年内利润 (元)最大，并求出最大值．

19.（本题满分12分）已知函数
，

(I)求
的最大值和最小值;

(II)若对任意实数，不等式
在
上恒成立,求实数的取值范围.

20．（本题满分13分）已知向量
，
，且

(I)求
及
;

(II)若函数
的最小值为
，求m的值．

21．（本题满分14分）已知函数
（x > 0）

(I)求
的单调减区间并证明；

(II)是否存在正实数m，n（m < n），使函数
的定义域为［m，n］时值域

为［
，
］？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)若存在两个不相等的实数和，且
，
，使得

和
同时成立，求实数的取值范围．

宜昌一中

沙市中学 2013年秋季高一年级期末考试数学试卷

公安一中

评分标准及参考答案

一、选择题：

二、填空题：

11．
12．
13．
14．

15．

三、解答题：

17． 解：由
2分

将上式两边平方得
4分

所以
5分

又由
6分

所以
7分

原式
10分

将
，
，
的值代入上式

得原式的值为
12分

18．（Ⅰ）依题意
2分

∴
， ……………5分

定义域为
………………6分

（Ⅱ）∵
，

∴ 当
时，则
，
(元) ……………… 8分

当
时，则
或24，
(元) ………………10分

综上：当
时，该商店获得的利润最大为32400元. ………………12分

19.解：(I)
………………1分

………………3分

………………4分

所以当
，即
时，
………………5分

所以当
，即
时，
………………6分

(II)

………………8分

因为对任意实数，不等式
在
上恒成立

所以
………………10分

故的取值范围为
………………12分

20．(I) 解：
2分

因为
，所以
5分

(II)

7分

令
，因为
，所以
8分

⑴当
，即
时，
不符合题意 9分

⑵当
，即
时，
，由
，又
，

所以
11分

⑶当
，即
时，
，由
，又
，所以
不符合题意 12分

故m的值为
. 13分

(II)①若
，则

∴

两式相减，得
不可能成立 5分

②若
，
，则
的最小值为0，不合题意 6分

③若
，则

∴
∴

∴ m，n为
的不等实根 .∴
，

综上，存在
，
符合题意 9分

(Ⅲ)若存在两个不相等的实数和，且
，
，使得
，和

同时成立，则当
时，
有两个不相等的实数根，即
在
上有两个不相等的实数根 10分

令
，则有：

，故实数的取值范围为
14分

（若有其它解法，参考本标准给分）