第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
＜
，那么角
是（ ）

A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角

2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知角是第二象限角,角的终边经过点
,且
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 方程
的解所在的区间是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 已知
，则
（ ）

A． B． C．
D．

6. 设
，
，
，则
的大小顺序为（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 若
是△
的一个内角，且
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

8 .已知函数
（其中
）的部分图像如下图所示，则
的值为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．已知
，且是第三象限角，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 函数
在区间
上的最大值为,则实数的值为( )

A． 或
B．
C．
D．或

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知扇形
的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________.

12.
的值为______________.

13.化简：
= .

14. 若
，则
= _________.

15. 给出下列结论：①函数
的定义域为(
，+∞)；②
；③函数
的图像关于点
对称；④若角的集合
,
,则
；⑤函数
的最小正周期是,对称轴方程为直线
.其中正确结论的序号是 _______.

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题12分）已知集合
,
,

,
,求
的值.

17.(本题满分12分)已知为第三象限角，
.

（1）化简
；

（2）若
，求
的值.

18. (本题满分12分)

（1）已知
且
求
的值.

（2）已知
，求证：
.

19．（本题满分12分）

已知函数

(１)求函数
的单调递减区间．

(２)将函数
的图像向左平移
个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数
的图像.求
在
上的值域．

20.（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；

(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.

(1)请根据(2)式求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

（证明步骤尽可能详细！）

21.（本小题满分14分）

设函数
(
为实常数)为奇函数，函数
(
).

(1)求
的值；

(2)求
在
上的最大值；

(3)当
时，
对所有的
及
恒成立，求实数
的取值范围．

2013-2014学年第一学期期末联考考试

高一数学试卷

参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10



答案

B

C

D

C

A

B

D

A

D

A



二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）

11. 12．
13 .
14.
15. ③④⑤

16. 解:
,
,
.

. …………………………2分

.
. ……………….4分

. ……………6分

又
，
，
. …………….8分

2,3是方程
的两根,

……………12分

17．解：

（1）
………..6分（结果为
酌情给3分）

（2）由
，得
. 又已知为第三象限角，

所以
，所以
, ………………8分

所以
=
. ………………10分

故
. ………………12分

18. (1) 由cosα＝，0<α<，

得sinα＝＝
＝，

由0<β<α<，得0<α－β<.

又∵cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝＝＝……….3分

由β＝α－(α－β)得

cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，….6分

∴β＝. ………………………………………………..………………8分

（2）证明：

得
…………………………………10分

…………………12分

19. 答案：

…………….2分

…………………..4分

所以，减区间为
…………..6分

因为将
，

横坐标缩短为原来的
，得到
…………..8分

. 所以所求值域为
……………..12分

20．解：解法一：

(1)计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝…………..3分

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝……….7分

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)…….10分

＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝……………………………….13分

解法二：

(1)同解法一．

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝…….7分

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)

＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)………10分

＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α

＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)

＝1－cos2α－＋cos2α＝…………………13分

21. （1）由
得
，

∴
． 2分

（2）∵
3分

①当
，即
时，
在
上为增函数，

最大值为
． 5分

②当
，即
时，

∴
在
上为减函数，