必考Ⅰ部分

一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知过点
和
的直线与直线
平行，则的值为（　A　）

A．
B．
C． D．

2、过点
且垂直于直线
的直线方程为（ B ）

A．
B．

C．
D．

3、下列四个结论：

⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ A ）

A．
B． C． D．

4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为
，则球的表面积是（　 B　）

Ａ．
　　 Ｂ．
　　 Ｃ．
　　 Ｄ．

5、圆
上的点到点
的距离的最小值是（ B ）

A．1 B．4 C．5 D．6

6、若
为圆
的弦
的中点，则直线
的方程是（ D ）

A.
B.

C.
D.

7、把正方形
沿对角线
折起,当以
四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线
和平面
所成的角的大小为（ C ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

8、在空间直角坐标系中，点
与点
的距离为
.

9、方程
表示一个圆，则的取值范围是
.

10、如图，正方体
中，
，点为
的中点，点在
上，若
，则线段
的长度等于
．

11、直线
恒经过定点，则点的坐标为

12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为
.

【第12题图】 【第13题图】

13、如图，二面角
的大小是60°，线段
在平面EFGH上，在EF上，
与EF所成的角为30°，则
与平面
所成的角的正弦值是

三．解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

14、(满分11分）某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm）；

（1）求出这个工件的体积；

（2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.

【解析】（1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，

母线长为3，.........................................2分

设圆锥高为
，

则
........................4分

则
...6分

（2）圆锥的侧面积
，.........8分

则表面积=侧面积+底面积=
（平方厘米）

喷漆总费用=
元...............11分

15、（满分12分）如图，在正方体
中，

（1）求证：
;

（2）求直线
与直线BD所成的角

【解析】(1)在正方体中
，

又
，且
,

则
,

而
在平面
内，且相交

故
；...........................................6分

（2）连接
，

因为BD平行
，则
即为所求的角，

而三角形
为正三角形，故
，

则直线
与直线BD所成的角为
.......................................12分

16、（满分12分）已知圆C
=0

（1）已知不过原点的直线
与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线
的方程；

（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程。

【解析】：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为
.............1分

∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径
，..............3分

即
=
...................4分

∴
或
..................5分

所求切线方程为：
或
………………6分

（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合

故直线
.................8分

当直线斜率存在时，设直线方程为
，即

由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分

则
，.................11分

直线方程为

综上，直线方程为
，
.................12分

必考Ⅱ部分

四、本部分共5个小题，满分50分，计入总分．

17（满分5分）在棱长为1的正方体
中，点
，
分别是线段
，
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是

18（满分5分）在平面直角坐标系内，设
、
为不同的两点，直线
的方程为
， 设
．有下列四个说法：

①存在实数
，使点
在直线
上；

②若
，则过
、
两点的直线与直线
平行；

③若
，则直线
经过线段
的中点；

④若
，则点
、
在直线
的同侧，且直线
与线段
的延长线相交.

上述说法中，所有正确说法的序号是 ② ③ ④

19（满分13分）已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．

【解析】（1）
，
．

设圆
的方程是

此时
到直线
的距离
，

圆
与直线
相交于两点．............................................10分

当
时，圆心
的坐标为
，
，

此时
到直线
的距离

圆
与直线
不相交，

不符合题意舍去．....................................11分

圆
的方程为
．...........................13分

20（满分13分）如图，四棱锥
中，
∥
,
，侧面
为等边三角形.
.

（1）证明：

（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值。

【解析】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。

连结SE，则

又SD=1，故

所以
为直角。

由
，得

,所以
.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以
..........................6分

（II）由
知，

作
，垂足为F，

则
,

作
，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则

又
，
,

故
，

作
，H为垂足，则
.

即F到平面SBC的距离为
。

（1）若
，求直线
的方程；

（2）经过
三点的圆的圆心是，求线段
(
为坐标原点）长的最小值
．

直线PA与圆M相切，
，解得
或

直线PA的方程是
或
........6分

（2）设

与圆M相切于点A，

经过
三点的圆的圆心D是线段MP的中点．

的坐标是

设

当
，即
时，

当
，即
时，

当
，即
时

则
.