江阴市山观高级中学2013-2014第二学期期中考试

高一数学

总分：150分 考试时间：120分

一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题纸的相应位置上．)

1．已知数列{
}的通项公式为
，那么
是它的第_ __项．

2．在等比数列{
}中，若
，
，则
．

3．在
中，
，则
___ ____．

4．设变量
满足约束条件：
，则
的最小值是 ．

5．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，塔顶共有灯 盏.

6．在
中，已知
，则
的大小为 .

7．等差数列
中，
，那么
．

8．数列
满足
则
．

9．不等式
的解集是 ．

10．若数列
中，
（
），那么此数列
的最大项的值为______．

11．数列
的通项公式
，则该数列的前_________项之和等于
．

12．若关于的不等式
的解集
，则的值为_________．

13．在
中，
，则
的最大值为 .

14．已知
的各项排成如右侧三角形状，记
表示第行中第
个数，则结论

①
=16；

②
；

③
；

④
；其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

二.解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本题满分12分）设不等式
的解集为.

（Ⅰ）求集合；

（Ⅱ）设关于的不等式
的解集为
，若
，求实数的取值范围.

16.（本小题满分12分）已知、
、分别是
的三个内角、、
的对边.

（1）若
面积
求、
的值；

（2）若
，且
，试判断
的形状．

17．（本小题12分）已知二次函数
的二次项系数为，且不等式
的解集为（1，3）．

⑴若方程
有两个相等实数根，求
的解析式．

⑵若
的最大值为正数，求实数的取值范围．

18. （本小题满分12分）如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．

19.（本小题满分16分）在等差数列
中，
，前项和
满足条件
，

（1）求数列
的通项公式和
；（2）记
，求数列
的前项和
.

20. （本题满分16分）已知数列
的前项和
和通项
满足
（
，是大于0的常数，且
），数列
是公比不为的等比数列，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，是否存在实数
，使数列
是等比数列？若存在，求出所有可能的实数
的值，若不存在说明理由；

（Ⅲ）数列
是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的和
的组合，若不能，请说明理由.

2013——2014学年度第二学期期中考试

高一数学参考答案

一、填空题答案

1、 2、
3、
或
4、
5、

6、
7、
8、
9、
10、

11、
12、
13、
14、①②③④

二、解答题答案

15．（本题满分12分）

解：

（Ⅰ）
，所以
------------------------------------------3分

所以不等式的解集
-------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）不等式等价于
------------------------------------------------------5分

若
，则
，要
，只需
-----------------------------------------7分

若
，则
，要
，只需
---------------------------------------9分

若
，则
，符合
----------------------------------------11分

综上所述，的取值范围为
． --------------------------------12分

16.（本小题满分12分）

解：（1）
， ………………………2分

，得
………………………3分

由余弦定理得：
， …5分

所以
……………………………………6分

（2）由余弦定理得：
，所以
………9分

在
中，
，所以
………………………………11分

所以
是等腰直角三角形； ………………………………12分

17. （本题满分12分）

解：⑴∵二次函数
的二次项系数为，且不等式
解集为（1，3），

∴可设
，且
……………………2分

∴

由方程
得
， …………………………4分

∵方程
有两个相等的实根，∴
或
，而
，

∴
从而
…………………………6分

⑵由
∴
……………8分

∴
解得
或
…………11分

∴实数的取值范围是

． ……………12分

18. （本小题满分12分）

解：ΔABC中，∠ABC＝155o－125o＝30o，…………1分

∠BCA＝180o－155o＋80o＝105o， ………… 3分

∠BAC＝180o－30o－105o＝45o， ………… 5分

BC＝
， ………………7分

由正弦定理，得
………………9分

∴AC＝
=
（海里） ………………………………11分

答：船与灯塔间的距离为
海里． ………………………………12分

19.（本小题满分16分）

解：（1）设等差数列
的公差为
,由

得：
，所以
，且
， …………………3分

所以
…………………5分

…………………………7分

（2）由
，得
………………8分

所以
， ……① ………………9分

， …… ② …………11分

①-②得

………13分

…………15分

所以
…………16分

20．（本题满分16分）

解：（Ⅰ）当
时,

,整理得
------------2分

又由
，得
----------------------------------------------------------------------3分

结合q>0知，数列
是首项为q公比为的等比数列， ∴
-----------------5分

(Ⅱ) 结合（Ⅰ）知，当q=2时，
,所以
---------------6分

假设存在实数
，使数列
是等比数列，则对任意n≥2有

(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn－1)，将cn＝2n＋3n代入上式，得：

[2n＋1＋3n＋1＋λ(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2＋λ(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n＋λ(2n－1＋3n－1)]，

即 [(2＋λ)2n＋(3＋λ)3n]2＝[(2＋λ)2n＋1＋(3＋λ)3n＋1][(2＋λ)2n－1＋(3＋λ)3n－1］，

整理得
(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ=－2或λ=－3. --------------------------------------10分

故存在实数实数
＝－2或－3，使使数列
是等比数列. --------------------------11分

（Ⅲ）数列
不可能为等比数列. -------------------------------------------------------12分

理由如下：

设等比数列｛bn｝的公比为p，则由题设知p≠q，则cn=qn＋b1pn-1

为要证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3.

事实上，

c22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2， ...........①

c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2），….②

②－①得

c1c3－c22＝b1q(p2＋q2－2pq)

由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，

所以 c1c3－c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比数列. ------------------------------------16分