总分：150分； 时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1、若直线x=3的倾斜角为，则=（ ）

A.
B.
C.
D.不存在

2、已知点
到直线
的距离为1，则等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3、圆台上底面半径为1，下底面半径为3，高为3，则该圆台的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

4、已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线
对称，则直线
的方程为(　　)

A．x＋y＋1＝0??? ?B．x－y＝0 C.x－y＋1＝0???? D．x＋y＝0

5、过点M（1，1）且倾斜角是直线
的倾斜角的2倍的直线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

6、长方体
中，
，
、
与底面
所成的角分别为
、
，则长方体
的外接球的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

7、用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）

A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形

8、设是空间中的一个平面，
是三条不同的直线，则（?? ）

①若
，
，
，
则
；? ②若
，
，
则

③若
，
，
则
； ?? ④若
，
，
则
；

则上述命题中正确的是?（? ???）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

9、如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为
的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图
，在直观图中的梯形的高为（ ）

A.
B.
C.
D.

10、如图，动点P在正方体
的对角线
上，过点P作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于M，N，设BP=x，MN=y，则函数
的图象大致是（??）

11、已知
，直线
与直线
互相垂直，则
的最小值等于(　　)．

A．1??????? ? ?? B．2 ?? ?? ? ????C．
???? ??? D．

12、正数
满足：
，
，则
的最大值为（ ）．

A.7 B.8 C.9 D.10

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）

13.已知直线
，与
平行且到
距离为2的直线方程是

____________________________；

14、不等式组
表示的平面区域的面积等于，则的值为_________；

15、已知三条直线
，
，
能够围成一个三角形,则实数的取值范围是_____________；

16、如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，设
，
，给出以下四个命题：

（1）平面
平面
；

（2）当且仅当
时，四边形
的面积最小；

（3）四边形
周长
，
，则
是偶函数；

（4）四棱锥
的体积
为常函数；

以上命题中真命题的序号为_____________.

三、解答题（本大题共6道小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本小题10分）已知直线
，点
.

(1)求过点A且平行于
的直线
的方程；

(2)求过点A且垂直于
的直线
的方程.

18、（本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.

(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；

(2)求证：PD∥平面EAC.

19、（本小题12分）已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)．

(1)画出这个几何体的直观图 (不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

20、（本小题12分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为
.

(1）求
的最大值；

（2）求
的最小值.

21、（本小题12分）已知直线
.

(1)求证直线m过定点M;

(2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4,求直线n的方程.

22、（本小题12分）如图，三棱柱
中，点
在平面
内的射影D在AC上，
，
，
.

证明：
；

设直线
与平面
的距离为
，

求二面角
的正切值.

海南中学2013—2014学年第二学期期末考试

高一数学答案

总分：150分； 时间：120分钟

15.
；

16.（1）（2）（3）（4）

三、解答题

17、（本小题10分）

解：（1）由已知直线
的斜率为
，
，故
的斜率为
，

的方程为：
，即
；（5分）

（2）由已知直线
的斜率为
，
，故
的斜率为2，

的方程为：
，即
.（10分）

18、（本小题12分）

解　(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.(3分)

又BC?平面PCB，

∴平面PAB⊥平面PCB.(6分)

(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD?平面ABCD，

∴PA⊥AD.

又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，

∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝
，

∴∠DCA＝∠BAC＝
.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．(8分)

∴DC＝
AC＝2AB=2

易知，
,故
,

在△BPD中,

∴PD∥EM

又PD平面EAC，EM?平面EAC，

∴PD∥平面EAC.(12分)

19. （本小题12分）

解:? (1) 这个几何体的直观图如图所示．（4分）

(2) 这个几何体可看成是正方体
及直三棱柱
的组合体．

由
,
，可得
.??????

故所求几何体的表面积
；（8分）

所求几何体的体积
.（12分）

20. （本小题12分）

解：区域D如右图所示，（2分）

(1)
，
，这是一族斜率为
，截距为z的平行直线。由图可知，当直线
经过可行域上的点B时，截距最大，

此时
，故z的最大值为4.（7分）

（2）
表示M(x,y)与P
两点所确定直线的斜率，由图可知，当点M为（0,2）时，斜率
最小，此时
，故w的最小值为
.（12分）

21、（本小题12分）?

(1) 方程
可化为
,要使有无穷多个解,必须有
,得
.

无论取何值,
都满足方程,故直线m过定点M
.（6分）

(2)设直线n:
,

则
，解得
，故直线n：
，

所以当直线n为
时，三角形的面积为4.（12分）

22、（本小题12分）

解：（1）因为
，
,故平面

.

又
，所以
,

连接
,因为侧面
为菱形，故
,

故
.（4分）

（2）
，
,故
.

作
,E为垂足，则
.

又直线
,因而
为直线
与平面
的距离，
.

因为
为
的平分线，故
.

作
,F为垂足，连接
.由三垂线定理得
,