2014-2015学年度山东省薛城区舜耕中学高一第一学期10月月考数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．已知集合
等于

A．
B．

C．
D．

2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为：
，若新丸经过50天后，体积变为
；若一个新丸体积变为
，则需经过的天数为

A．75天 B．100天 C．125天 D．150天

3．已知
，且
，则a等于

A．
B．
C．
D．

4．已知点
在第三象限，则角在

A．第一象限 B．第二象限 　 C．第三象限 　 D．第四象限

5．函数
的定义域为
，则函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

6．若
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

7．已知
，则

A．
B．
C．
D．

8．在下列区间中，函数
的零点所在的区间为

A．
B．
C．
D．

9．设
是定义在
上的偶函数，则
的值域是

A．
　　 B．

C．
　 　 D．与
有关，不能确定

10．已知函
若
在
上单调递增，则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

11．函数
，
的图象可能是下列图象中的

A B C D

12.．设
为
的函数，对任意正实数，
，当
时
，则使得
的最小实数为

A．45 B．65 C．85 D．165

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置）

13．已知角终边上一点
，则
的值为_________.

14．设
是奇函数，且
时，
，则
_________.

15．已知函数
，
在区间
上是递减函数，则实数的取值范围为_________.

16．设定义域为的函数
，若关于的方程
有五个不同的实数解，则
的取值范围是_________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）已知函数
的定义域为集合，函数
的值域为集合,
.

（1）求
；

（2）若
且
,求实数的取值范围,

18．（本题满分12分）已知函数
的图像过点

（1）求实数的值及
的周期及单调递增区间；

（2）若
，求
的值域.

19．（本题满分12分） 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2008年为第1年，且前4年中，第年与年产量
（万件）之间的关系如下表所示：

1

2

3

4





4.00

5.58

7.00

8.44



若
近似符合以下三种函数模型之一：
．

（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取08年和10年的数据求出相应的解析式；

（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2014年的年产量比预计减少30％，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量．

20．（本题满分12分）已知函数
，

（1）求函数
的定义域和值域；

（2）设函数
，若不等式
无解，求实数的取值范围．

21．（本题满分12分）定义在上的函数
是最小正周期为2的奇函数, 且当
时,
.

（1）求
在
上的解析式；

（2）用单调性定义证明
在
上时减函数；

（3）当
取何值时, 不等式
在上有解.

22．（本题满分12分）

设函数
.

（1）若
，且
，求的值；

（2）若
，记函数
在
上的最大值为
，最小值为，求
时的
的取值范围；

（3）判断是否存在大于１的实数，使得对任意
，都有
满足等式：
，且满足该等式的常数的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由.

2014-2015学年度山东省薛城区舜耕中学高一第一学期10月月考

数学试题参考答案

1-12 CABDD CDCAC DB

13．
14.
15．
16．（1，
）∪（
，2）

17．答案：（1）
……………………………………………………..5分

（2）

……………………………………………………..10分

18．解：（1）由题意可知，
，所以
……….2分

所以
，
T=……………………3分

递增区间为：

……………………………5分

解得：

所以
的单调递增区间为

……………………………7分

（2）因为
所以

所以
………………………………….9分

所以
所以
的值域为
……………….12分

19．解：（1）符合条件的是
， -----------------------------1分

若模型为
，则由
，得
，即
，

此时
,
,
，与已知相差太大，不符合. -----------3分

若模型为
，则
是减函数，与已知不符合. -----------4分

由已知得
，解得
所以
，
.-------------------8分

（2）2014年预计年产量为
,，---------------9分

2014年实际年产量为
，-----------------11分.

答：最适合的模型解析式为
，
.2014年的实际产量为9.1万件。

-----------12分.

20．解：（1）由
得
，所以定义域为
，………………………3分

因为
，所以值域为R。…………………………………………6分

（2）因为

=
的定义域为
，且在
上是增函数，………………8分

所以函数的值域为
…………………………10分

若不等式
无解，则的取值范围为
。…………………………12分

21．解：（1）当x∈（-1, 0）时, - x∈（0, 1）. ∴f（-x）=
. ……….2分

又f（x）是奇函数, ∴f （-x）= - f （x）=
.∴f（x）= -
. ∵f（-0）= -f（0）,

∴f（0）= 0. ….3分

∴f（x）在（－1, 1）上的解析式为

f（x）=
. …………………….4分

（2）证明略； …………………….7分

（3）不等式f（x）＞λ在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f（x）在R上的最大值.

又f（x）是最小正周期为2的函数, ∴对任意的x有f（x+2）= f（x）.∴f（-1）= f（-1+2）= f（1）. 另一面f（-1）=- f（1）, ∴- f（1）= f（1） . ∴f（1） = f（-1）=0.∴f（x）在
上的解析式为

f（x）=
. …………………….8分

当x∈（-1, 0）时，有-
< f（x）= -
< -
；…………………….9分

又f（x）是奇函数,当x∈（0, 1）时，f（x）在（0, 1）上也是减函数,

∴
< f（x）＝
<
.. ∴f（x）在[-1, 1]上的值域是（-
, -
）∪｛0｝∪（
,
）.….10分

由f（x）的周期是2；故f（x）在R上的值域是（-
, -
）∪｛0｝∪（
,
）….11分

λ＜
时，不等式f（x）＞λ在R上有解. …………………….12分

22．解：(1)当∈(-1, 0)时, - ∈(0, 1). ∴f(-)=. …………………….2分

又f()是奇函数, ∴f (-)= - f ()= .∴f()= -. ∵f(-0)= -f(0),

∴f(0)= 0. ….3分

∴f()在(－1, 1)上的解析式为

f()=. …………………….4分

(2) 证明略； …………………….7分

(3) 不等式f()＞λ在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f()在R上的最大值.

又f()是最小正周期为2的函数, ∴对任意的有f(+2)= f().∴f(-1)= f(-1+2)=

f(1). 另一面f(-1)=- f(1), ∴- f(1)= f(1) . ∴f(1) = f(-

1)=0.∴f()在上的解析式为

f()=. …………………….8分

当∈(-1, 0)时，有-< f()= -< -；…………………….9分

又f()是奇函数,当∈(0, 1)时，f()在(0, 1)上也是减函数,

∴< f()＝<.. ∴f()在[-1, 1]上的值域是(-,

-)∪｛0｝∪(, ).….10分

由f()的周期是2；故f()在R上的值域是(-, -)∪｛0｝∪(,

)…………….11分

λ＜时，不等式f()＞λ在R上有解. …………………….12分