一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．

函数
的定义域为 ．

设全集
，集合
，则
．

设关于的函数
是上的增函数，则实数
的取值范围是 ．

已知
，用含的式子表示
，则
．

函数
的最大值为 ．

若函数
是奇函数，则实数的值为 ．

若不等式
（
）的解集为
，则
．

设：
，
：
，若是
的充分条件，则实数的取值范围

是 ．

设
均为正数，则函数
的零点的最小值为 ．

给出下列命题：

①直线
与函数
的图象至少有两个公共点；

②函数
在
上是单调递减函数；

③幂函数的图象一定经过坐标原点；

④函数
（
）的图象恒过定点
．

⑤设函数
存在反函数，且
的图象过点
，则函数

的图象一定过点
．

其中，真命题的序号为 ．

设函数
（
）满足
，且
．则

．

若
（
均为常数），则称
是由函数
与函数
所确定的“
”型函数．设函数
与函数
，若
是由函数
与函数
所确定的“
” 型函数，且实数
满足
,则
的值为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．

“
”是“
” 的………………………………………………………………（ ）

（）充分非必要条件 （）必要非充分条件

（
）充要条件 （）既非充分又非必要条件

函数
的递减区间为 ………………………………………………（ ）

（）
（）
（
）
（）

如图为函数
的图象（
均为实常数），

则下列结论正确的是 ……………………………（ ）

（）
（）
　

（
）
（）

设
，
为不超过实数的最大整数，若函数
存在最大值，

则正实数的最小值为 ……………………………………………………………（ ）

（）
（）
（
）
（）

三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

（本题满分8分）解不等式组：
．

（本题满分8分）本题共有2个小题，第1题满分4分，第2题满分4分．

某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加元，客房出租就会减少
间．（不考虑其他因素）

（1）设每间客房日租金提高
元（
），记该中心客房的日租金总收入为，试用表示；

（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？

（本题满分10分）本题共有2个小题，第1题满分3分，第2题满分7分．

已知
（
）的图象过点
．

（1）求实数的值；

（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为．试在该坐标系中作出函数
的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．

（本题满分12分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分3分，第3题满分6分．

设函数
（
，且
）．

（1）判断
的奇偶性；

（2）当
时，解方程
；

（3）如果
，那么，函数
的图象是否总在函数
的图象的上方？请说明理由．

（本题满分14分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分5分，第3题满分6分．

对于四个正数
，如果
，那么称
是
的“下位序对”．

（1）对于
，试求
的“下位序对”；

（2）设
均为正数，且
是
的“下位序对”，试判断
之间的大小关系；

（3）设正整数满足条件：对集合
内的每个
，总存在

，使得
是
的“下位序对”，且
是
的“下位序对”．求正整数的最小值．

宝山区2014学年度第一学期期末高一数学质量监测试卷

参考答案

三、解答题（本大题共有5题，满分52分）

17．（本题满分8分）

解：原不等式组可化为
，……………………………………………………………………（）

解得
，…………………………………………………………………………………………………（）

即
，……………………………………………………………………………………………………（
）

从而有
， …………………………………………………………………………………………………（
）

所以，原不等式的解集为
． ………………………………………………………………………………（
）

18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1题满分4分，第2题满分4分．

解：（1）若每间客房日租金提高
元，则将有
间客房空出，……………………………………………（）

故该中心客房的日租金总收入为
，…………………………………………………（
）

即
（这里
）． …………………………………………………………（）

（2）



，……………………………（
）

当
即
时，
， …………………………………………………………………（
）

即每间客房日租金为
（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为
元．……（
）

………………………………………………………………………………………………………………（
）

定义域：
，…………………………………………………………………………………………（
）

值 域：
，………………………………………………………………………………………………………（
）

奇偶性：非奇非偶函数，…………………………………………………………………………………………………（
）

单调（递减）区间：
．…………………………………………………………………………………………（
）

20．（本题满分12分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分3分，第3题满分6分．

解：（1）由已知条件可得函数
的定义域为
，关于原点对称；……………………………………（）

又
，即
，…………………………………………（）

故
为定义域
上的奇函数．……………………………………………………………………………（
）

（2）当
时，
，由
得
，…（）

去对数得
，…………………………………………………………………………………………………（
）

解得
，从而
．经检验，
为原方程的解．…………………………………………………………（
）

注意到
，
，所以函数
在
上存在唯一零点，即满足
的
（且唯一），故
．综上所述，
．………………………………………………………（
）

于是
，即
，…………………（
）

也就是说，对于任一
，均有
，故函数
的图象总在函数
图象的上方．………………………………………………………………………………………………………………………（
）

方法二：注意到
的定义域为
．

21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1题满分3分，第2题满分5分，第3题满分6分．

解：（1）
，……………………………………………………………………………………………………（）

的下位序对是
．………………………………………………………………………………………（
）

（2）
是
的“下位序对”，
，……………………………………………………………（
）

注意到
，故
，即
，所以
；…………………（
）

同理
．…………………………………………………………………………………………………………（
）

综上所述，
．……………………………………………………………………………………………（
）

（3）依题意，得
，……………………………………………………………………………………（
）

注意到，，
均为正整数，故
，……………………………………………………………（
）

于是
，可得
，该式对集合
的每个正整数都成立，故
．……………………………………………………………………（
）

注意到
，据（2）可得
，…………………………………………（
）

即
，于是对
内的每个
，总存在

，使得
是
的“下位序对”，且
是
的“下位序对”，因此，正整数的最小值为
．……（
）