2014-2015学年度上学期期末考试高二年级理科数学答案

一、选择题

1-5
A C D A A 6-10 C B D A C 11-12 B A

二、填空题

13. -14 14.  15.
或
16.

三、解答题

17.解：

则
或
………………………………3分

则
或
………………………………6分

是
的充分不必要条件

，且

………………………………8分

解得：
，故实数的取值范围是
.………………………10分

18.解：（I）当
时，
，所以
，故
………3分

………………………6分

(Ⅱ)
……9分

当且仅当
时取得最小值. ………………………………11分

即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. ……………12分

19. 解法一: （I）延长
交
于点,
∽
,
,

∴

, ∴点为
的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且
,∴

又
平面
,
平面
………………………5分

∴
平面
………………………6分

(Ⅱ)在平面
内,过
作
,垂足为
,∵平面
⊥平面
,

∴
⊥平面
.又侧棱
与平面
成
的角,

, ∴
,
,

在平面
内,过
作
,垂足为,连
,

由三垂线定理有
,

又平面
与平面
的交线为
,

∴
为所求二面角的平面角. ………………………………9分

∴
,
,∴
.

在
中,
,
,

从而平面
与平面
成锐二面角的余弦值为
. ………………………12分

解法二:

（I）∵平面
⊥平面
,侧棱
与底面
成
的角,∴
,

又
,取
的中点
,则
⊥平面
. ………………………2分

如图，以
为原点，分别以
、
、
为、、轴，

建立空间直角坐标系， ……………3分

则
,
,
,

,
,
.

∵
为△
的重心,∴
.

∵

,∴
, ∴
.

又
平面
,
平面
………………………5分

∴
平面
. ………………………6分

（注：可以通过
垂直于平面
的法向量来证明线面平行，给分参照上述方法）

(Ⅱ)设平面
的法向量为
,则由
得

可取
………………………8分

又平面
的一个法向量为
………………………9分则
………………………11分

又平面
与平面
所成锐二面角,

平面
与底面
成锐二面角的余弦值为
. ……………………12分

20. 解：（I）设过点
的直线方程为
，

由
得

因为
，且
，

所以，
.

设
，
，则
，
. …………4分

因为线段
中点的横坐标等于
，所以
，

解得
，符合题意. ……………………6分

(Ⅱ)依题意
，直线
………8分

又
，
，

所以

因为
， 且
同号，所以
，

所以
， ………………………………11分

所以，直线
恒过定点
. ………………………………12分

21.解：(I)证明：

……………………………… 2分

所以数列
是等差数列,
,

因此
, ………………………………3分

由
得

………………………………4分

(Ⅱ)
………………………………5分

,

所以
, ……………………………8分

因为

所以要使
对于
恒成立,只需
………………………10分

解得
或
,

又
是正整数，所以的最小值为
………………………………12分

22解：（I）由题意得
又
，解得
，
．

因此所求椭圆的标准方程为
． ……………………………2分

(Ⅱ)①设
，
，则由题设知：
，
．即
解得

因为点
在椭圆C2上，所以
，

即
，亦即
．

所以点M的轨迹方程为
． ………………………………6分

②假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．

解方程组
得
，
，

所以
，
.

又
解得
，
，所以
．

由于


…………9分

，

当且仅当
时等号成立，即k＝±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是
＝
． ……………………………11分

当k＝0，

；

当k不存在时，

．

综上所述，△AMB面积的最小值为
． ………………………………12分

注：面积求最值部分另一种方法如下：（给分参照上述方法）

设

当
即
时

所以