1．已知
满足
且
，下列选项中不一定成立的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2.在等差数列
中，已知
，则该数列前11项和
等于（ ）

（A）58 （B）88 （C）143 （D）176

3．已知命题
则
是 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

4．若不等式
的解集为
，则
的值分别是（　　）

（Ａ）
（Ｂ）
，
（Ｃ）
，
（Ｄ）
，

5. 等比数列
中，
，前
项之和
，则公比的值为（　　）

（Ａ） Ｂ）
（Ｃ）或
（Ｄ）或

6．在
中，
分别是角
的对边，且满足
，那么
的形状一定是 （ ）

（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰或直角三角形 （D）等腰直角三角形

7. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为
的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）

（A）
（B）6 （C）
（D）

8.△ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，

则C点轨迹为 ( )

（A）
(y≠0) （B）
(y≠0)

（C）
(y≠0)（D）
(y≠0)

9．若对任意一点
和不共线的三点、、
有
，则
是四点、、、
共面的（ ）

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

10．设F1、F2是双曲线
的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则

△PF1F2的面积是( )

（A）1 （B）
（C）2 （D）

11.如图，是正方体
对角线
上一动点，设
的长度为，若
的面积为
，则
的图象大致是（ ）

12．已知
，
，
，
，
，则 （　　）

（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）

2014-2015学年度上学期期末素质测试试卷

高二数学

（必修⑤，选修2-1.理科卷）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）

13. 探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60cm，灯深40cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处．

14.若变量
满足约束条件
，则
的最大值是____________.

15．已知
是等比数列，
，则
____________ .

16．已知直角△ABC的内切圆半径为1，则△ABC面积的最小值是________________.

三、解答题（共6小题，满分70分）

17.（本题满分10分）

在
中，内角
对边分别为
，且
.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求
的值.

18．（本题满分12分）

已知等差数列{
}，公差
，
,且
成等比数列.

（I）求{
}的通项公式；

（II）设
，求证：
.

19．（本题满分12分）

在四棱锥
中，底面
是正方形，侧棱
底面
，
，点是
的中点，作
交
于.，

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的大小.

20．（本题满分12分）

“坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法. 请用坐标法证明下面问题：

已知圆O的方程是
，点
，P、Q是圆O上异于A的两点.证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是
.

21．（本题满分12分）

投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设
表示前n年的纯利润总和（
前年总收入-前年的总支出-投资额72万元）

（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？

（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.

22.（本题满分12分）

已知椭圆
的中心为坐标原点O，焦点在轴上，离心离为
，点B是椭圆短轴的下端点. B到椭圆一个焦点的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点，且
，求直线
的方程．

2014-2015学年度上学期期末素质测试试卷

高二数学（理科）参考答案

选择题：CBCC DCBA CAAB

填空题：13. 5.625cm; 14.
; 15.
; 16.

解答题

19. 解：（Ⅰ）连结BD，与AC交于G，

∵
是正方形，∴则G为BD的中点

∵是
的中点，

∴
∥

∵
平面
，
平面

∴
∥平面
----------3分

（Ⅱ）∵
底面
，
平面

∴

∵
，

∴
平面
--------------------4分

∵
平面
，

∴

∵是
的中点，

∴

∵

∴
平面
---------------------------6分

而
平面
，

∴

又
，

平面
----------------------------------------------------8分

（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设

则
------9分

设平面
的法向量是
，则
，

所以
，
，即
-------------------10分

设平面
的法向量是
，则

所以
，
，即
---------------11分

，即面角
的大小为
. ----------12分

20. 证明: 充分性, 若
,即
,

设直线AP的方程分别是
， 代入
得
------2分

因为
，所以
，从而得
------------4分

因为
，所以直线AQ的方程

以
代换点Q坐标中的，得
-------------------5分

显然
,即弦
是圆的直径 ------------------------------6分

（Ⅱ）必要性

若弦
是圆的直径,设
，

-------------10分

因为
,所以
----------------------------12分

21. 解(Ⅰ)依题意
前年总收入-前年的总支出-投资额72万元,可得

----------3分

由
得
,解得
--------------5分

由于
,所以从第3年开始盈利.---------------------------6分

22. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

由
得:

所以椭圆C的方程为
．……………4分

（Ⅱ）显然直线l的斜率
存在，且
．设直线
的方程为
．

由
消去并整理得
．------------------6分

由
，
．---------------------------------------------7分

设
，
，
中点为
，

得
，
．----------------------9分

由
，知
，

所以
，即
．-------------------------------11分

化简得
，满足
．所以
．

因此直线
的方程为
． ……………12分