一、选择题（每题5分，计50分）

1.抛物线
的准线方程是( )

A．
B．
C．
D．

2. 已知命题p： x∈R，sin x≤1，则(　 　)．　　　　　　　

A．?p： x0∈R，sin x0≥1 B．?p： x∈R，sin x≥1

C．?p： x0∈R，sin x0>1 D．?p： x∈R，sin x>1

3. 已知与之间的一组数据：























则与的线性回归方程
必过点（ ）

A．
B.
C．
D．

4．右边的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中

最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )

A.
B.
C．
D.

5.
是“方程
表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 在区域
内任意取一点
，则点到原点距离小于的概率是（ ）

A．0 　　 B．
　　　C．
　　　　　D．

7. 已知函数
的导数为
，且满足关系式
，则
=（ ）

A．
　　 B． 　　　C．
　　　　　D．

8. 函数
的导函数

的简图如右，它与轴的交

点是（1,0）和（3,0），则函数的极小值点为（ ）

A．1 B． 2 C．3 D．不存在

9.已知椭圆C：
(a＞b＞0)的左焦点为，
与过原点的直线相交于
两点，连接
.若
，则
的离心率为(　 　)．

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
有两个极值点
,若
,则关于的方

程
的不同实根个数为 （　 　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（每题5分，计35分）

11. 为了检验某种产品的质量，决定利用随机数表法从300件产品中抽取5件检查，300件产品编号为000,001,002，…，299，下图为随机数表的第7行和第8行，若选择随机数表第7行第5列作为起始数字，并向右读数，依次得到的5个样本号码中的第二个号码为 .

第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

第8行63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

命题“若x，y都是正数，则x+y为正数”的否命题是____________________________

13.把“十进制”数
转化为“二进制”数为

14．运行下面的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是



15.
的单调递减区间为

16. 已知函数
有两个极值点,则实数的取值范围是 .

17. 有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为
，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 ．（精确到
）

三、解答题

18（12分）. 求满足下列条件的曲线的标准方程：

（1）椭圆
的中心在原点，焦点
，
在轴上，离心率为
．过
的直线
交
于，两点，且
的周长为16；

（2）焦点在轴上，焦距为10且点
在其渐近线上的双曲线方程.

19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

频率分布直方图 茎叶图

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；(6分）

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．（6分）

20.（12分）

已知命题P：“对任意
，
”，命题q：“存在
”若“p或q”为真，“p且q”为假命题，求实数的取值范围。

21（14分）已知圆
，定点N（1，0），是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线
交
于点
，点
的轨迹为曲线
。（Ⅰ）求曲线
的方程；（2）若直线
与曲线
相交于，两点（
不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

22（15分）已知函数
,其中是实数.设
,
为该函数图象上的两点,且
.

(Ⅰ)指出函数
的单调区间;

(Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线互相垂直,且
,证明:
;

(Ⅲ)若函数
的图象在点
处的切线重合,求的取值范围.



19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

频率分布直方图 茎叶图

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．

（Ⅰ）由题意可知，样本容量
……………………2分

……………………………………………………4分

．………………6分

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在[90，100)有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，F)，(a，G)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，F)，(b，G)，(c，d)，(c，e)，(c，F)，(c，G)，(d，e)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，(F，G)，共有21个基本事件；…………9分

其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a，F)，(a，G)，(b，F)，(b，G)，(c，F)，(c，G)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，共10个，

所以P=10/21………………12分

20.（12分）已知命题P：任意“
，
”，命题q：“存在
”若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围。

答案：

.........................6分

中一真一假，得
..................................12分

又
，

因为以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，

，即
，
，

，7m2+16mk+4k2=0．．

解得：
，
，且均满足
，

当
时，
的方程为
，直线过定点
，与已知矛盾；

当
时，
的方程为
，直线过定点
．

所以，直线
过定点，定点坐标为
．

22（14分）已知函数
,其中是实数.设
,
为该函数图象上的两点,且
.

(Ⅰ)指出函数
的单调区间;

(Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线互相垂直,且
,证明:
;

(Ⅲ)若函数
的图象在点
处的切线重合,求的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)函数
的单调减区间为
,单调增区间为
,

(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为
,点B处的切线斜率为
,

故当点
处的切线互相垂直时,有

,

当x<0时,

因为
,所以
,所以
,
,

因此
,

(当且仅当
,即
且
时等号成立)

所以函数
的图象在点
处的切线互相垂直时有
.

(Ⅲ)当
或
时,

,故
.

当
时,
的图象在点
处的切线方程为

即
.

当
时,
的图象在点
处的切线方程为

即
.