一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1、在△ABC中，若
，则
等于 （ ）

A B
C
D

2、由
，
确定的等差数列
，当
时则n等于 （ ）

A．99 B．100 C． 96 D．101

3、“m>0”是“方程
+
=1表示椭圆”的 ( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

已知
，
，且
与
互相垂直，则
的值是 （ ）

A．1 B．
C．
D．

5、下列命题为真命题的是 ( )

A.椭圆的离心率大于1； B.双曲线
的焦点在轴上；

C.
，

； D.
.

6、 满足线性约束条件
的目标函数
的最大值是 （ ）

A 1. B
. C 2. D 3.

一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向

直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观

察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是 （ ）

海里 B.
海里 C.
海里 D.
海里

8、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为侧棱AA1上

一动点，已知△BCM面积的最大值是
，二面角M―BC―A

的最大值是
,则该三棱柱的体积等于 （ ）

A..
B.
C.
D.

9、已知点F1、F2分别是椭圆
＋
＝1(k＞－1)的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为
，则椭圆的离心率为 （ ）

A.
B．
C．
D．

设函数f(x)在R上可导，其导函数为
，且函数y＝(1－x)
的图象如图所示，

则下列结论中一定成立的是 (　 　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

在等比数列
中
且
则

+
+…+
=____

设a＞0为常数，若对任意正实数x，y不等式
恒成立，则的最

小值为_____________

13、若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 _____________

由直线
，
和曲线
所围成的平面图形的面积为__________

15、已知
三顶点均在双曲线
上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为
，
，
且均不为0，则
______

三、解答题:本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分10分)

在锐角
中，
分别为
所对的边，且

(1)确定
的大小；

(2)若
，
的面积为
，求
的值．

17.(本小题满分10分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、

B1C1的中点.

（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小.

18.(本小题满分10分)

设数列
的各项都为正数，其前项和为
，已知对任意
，
是
和
的等差中项．

（Ⅰ）证明数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明
；

19.(本小题满分10分)

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为
万元.设余下工程的总费用为万元.

（Ⅰ）试将表示成关于的函数；

（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使最小？

20.(本小题满分10分)

如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l

与抛物线相交于A，B两点，且满足
.

（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；

（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求△ABP面积的最大值．

21．(本小题满分10分)

己知
．

(Ⅰ)若
，函数
在其定义域内是增函数，求
的取值范围；

(Ⅱ)当
时，证明函数
只有一个零点；

(Ⅲ)若
的图象与轴交于
两点，
中点为
，求证：
．

2014-2015学年上学期湘中名校高二期末联考理科数学

参考答案

16：【解】　(1)由a＝2csinA及正弦定理，得＝＝，

∵sinA≠0，∴sinC＝. ∴△ABC是锐角三角形，∴∠C＝.

(2)∵c＝，∠C＝.由面积公式得 absin＝，即ab＝6. ①

由余弦定理，得 a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7 . ②

由②变形得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.

17：【解】解法一：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，

所以BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.

由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.

又
，所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点.

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.

故MN⊥平面A1BC. （5分）

（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，

连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角.

设AC＝BC＝CC1＝a，则
，
.

在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝
，

所以∠C1BD＝30o，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30o. （10分）

解法二：（Ⅰ）据题意CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，

CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系，如图.

设AC＝BC＝CC1＝a，则

，

，
.

18【解】（Ⅰ）由已知，
，且
.

当
时，
，解得
.

当
时，有
.

于是
，即
.

于是
，即
.

因为
，所以
.

故数列
是首项为，公差为的等差数列，且
. （5分）

（Ⅱ）因为
，则
.

所以
2(
（10

19:【解】（I）设需要修建
个增压站，则
，即
. ( 1分）

所以
.

因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120.

故y与x的函数关系是
. （5分）

（II）设
，则

.

由
，得
，又0＜x≤120，则
.

所以
在区间
内为增函数，在区间
内为减函数.

所以当
时，
取最小值，此时
.

故需要修建19个增压站才能使最小. (10分)

20:【解】（Ⅰ）据题意可设直线l的方程为
，

抛物线方程为
.

由
得，
.

设点
，则

.

所以
.

因为
，所以
，解得
.

故直线
的方程为
，抛物线方程为
（5分）

（Ⅱ）解法一：据题意，当抛物线过点P的切线与
平行时，△APB面积最大.

设点
，因为
，由
，
，所以

此时，点P到直线
的距离
.

由
，得
.

所以
.

故△ABP面积的最大值为
. （10分）

解法二：由
得，
.

所以
.

设点

，点P到直线
的距离
.

则
，

当
时，
max=
，此时点
.

故△ABP面积的最大值为
. （10分）

21:【解析】(Ⅰ)依题意：

(Ⅲ)由已知得


两式相减，得

由
及
，得

令
，

在
上递减，
∵
， ∴
． …10分