选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“
”是“NM”的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

2. 某校参加舞蹈社团的学生中，高一年级有40名，高二年级有30名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了8名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

3. 下列有关命题的叙述错误的是（ ）

A. 对于命题


，则
为：

B. 若
为假命题，则
均为假命题

C. 命题“若
，则
”的逆否命题为：“若
，则
”

D．
是
的必要不充分条件

4. 已知函数
有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ( )

A．（-1，2） B．(-∞，-3)∪(6，+∞) C．(-3,6) D．(-∞，-1)∪(2，+∞)

5. 若抛物线
的准线的方程是
，则实数a的值是（ ）

A. 8 B.
C.
D.

6. 用秦九韶算法计算多项式
在
时的值时,
的值为（ ）

A．34 B．22 C．9 D．1

7. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为

零件数x个

10

20

30

40

50



加工时间y（min）

62



75

81

89



但现在表中有一个数据已模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）

A．68 B．68.2 C．69 D．75

8. 若下面的程序框图输出的
是62，则①应为（ ）

A.
B．
C．
D．

9. 在正方体
中，
分别为
中点，则异面直线
与
所

成角的余弦值为（ ）

A．
 B．
 C．
 D．



（第8题图） （第9题图）

10.

下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是（ ）

游戏

游戏

游戏




个黑球和个白球

个黑球和个白球

个黑球和个白球



取个球，再取个球

取个球

取个球，再取个球



取出的两个球同色→甲胜

取出的球是黑球→甲胜

取出的两个球同色→甲胜



取出的两个球不同色→乙胜

取出的球是白球→乙胜

取出的两个球不同色→乙胜



游戏 B．游戏 C．游戏
D．游戏和游戏

11. 设
分别为双曲线
的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.
是定义在非零实数集上的函数，
为其导函数，且
时，
，记
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

二． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

若曲线
在点
处的切线平行于轴，则
___________.

14. 从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为___________.

15. 已知抛物线
，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两

点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为___________.

16. 方程
表示曲线C，给出以下命题：

①曲线C不可能为圆； ②若曲线C为双曲线，则
或
；

③若
，则曲线C为椭圆； ④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1

其中真命题的序号是____________（写出所有正确命题的序号）．

三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 设p：实数满足
（其中
），q：实数x满足

（1）若
，且p∧q为真，求实数的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围．

18．高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，

求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；

（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和

中位数（精确到0.01）；

（3）设
表示该班两个学生的百米测试成绩，已知
，求事件
的概率.

19. 已知椭圆
过点
，离心率
，为椭圆
上的一点，为抛物线

上一点，且为线段
的中点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）求直线
的方程.

20. 如图，四边形
是正方形，平面
，
，
，、、分别为、、
的中点．

（1）求证：
平面；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的大小.

21. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

22. 设
，函数
．

（I）当
时，求
的极小值；

（II）设
，若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围．

2014-2015学年第一学期高二年级期末考试

理科数学 答案

13. 1 14.
15.
16.②④

17. （1）当
，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是（2,3）．

…………5分

（2）设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）} ＝（2,3），

p是q的必要不充分条件，则

由
得
，

因为
，A＝
，所以有
，解得
；

∴实数a的取值范围是
． …………10分

18.（1）根据直方图可知成绩在
内的人数：
人 ………4分

（2）由图可知众数落在第三组
是

19．（1）据题意易得
，

所以椭圆方程为
. …………5分

（2）设点坐标为
，则点坐标为
，分别代入椭圆和抛物线方程得

消去
并整理得：
， …………9分

所以
或
. 当
时，
；当
时，
无解.

所以直线
的方程为
. …………12分

20. （1）证明：，分别为，的中点，
 又
平面，平面，
平面 …………5分

（2）平面
，
平面


平面
，
.

四边形
是正方形，
.

以为原点,分别以直线
为轴,轴, 轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

=2

，
，
，
，
，
，

 ，
，，，分别为，，
的中点，

，
，
，
，
，

设
为平面
的一个法向量，则
,

即
，令
，得
. …………8分

设
为平面
的一个法向量,则
,

即
，令
，得
. …………10分

所以
.

所以平面
与平面
所成锐二面角的大小为 …………12分

21．（1）由题知B(1，-1)，设
，由题意得：
化简得
，故动点P的轨迹方程为
…………5分

（2）设
，点M,N的坐标分别为
，

则直线AP的方程为
，直线BP的方程为
，

令
，得

于是
的面积
，…………8分

又直线AB的方程为
，
，点P到直线AB的距离
，

于是
的面积
， …………10分

当
=
时，
=
，又
，所以
=
，解得
，因为
，所以
，故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为
…………12分

22. （1）当
时，函数
，则
.

得：
；令
得
或
；令
得
，所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为

因此
的极小值为
…………5分

所以
在
是增函数，

而当
时，
，这与对于任意的
时
矛盾

同理
时也不成立. …………11分

综上所述，的取值范围为
. …………12分