注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．不等式组的解集为(　　)

A．{x|－1＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|0＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}

2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于 (　　)

A．5 B．6 C．4 D．8

3．已知a，b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列四个命题中的真命题为(　　)

A．?x0∈Z，1＜4x0＜3 B．?x0∈Z，5x0＋1＝0

C．?x∈R，x2－1＝0 D．?x∈R，x2＋x＋2＞0

5．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2

C．a≥1 D．－2≤a≤1

6．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)

A． B． C． D．

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)

A．8 B．10 C．12 D．14

8．已知
为双曲线C：x2—y2=2的左右焦点，点在
上，
，则

cos∠F1PF2 = （　　）

A．
B．
C．
D．

9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为(　　)

A．11　　　 B．10 C．9 D．8.5

10．设F1,F2是椭圆
（a＞b＞0）的左右焦点,若直线x = ma (m ＞1)上存在一点P, 使ΔF2PF1是底角为30°的等腰三角形，则m的取值范围是（　　）

A．m > 2 B．1 < m < 2 C．1 < m <
D．m >

11．已知抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则
的最大值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

12．设双曲线C的中心为原点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．（
，+∞） B．[
，2）

C．（
，2
D．[
，+∞）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2。在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(┐q)；④(┐p)∨q中，真命题是 .（写出正确答案序号）

14．已知
的三边长成公比为
的等比数列,则其最大角

的余弦值为 .

15．如图，
，
是双曲线
＞0)的左、右焦点，

过
的直线与双曲线分别交于点A、B，若△
为等边

三角形，则△
的面积为 .

16．曲线C是平面内与两个定点F1（—1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数
的点的轨迹。给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F
PF
的面积大于
a
.

其中，所有正确结论的序号是 .

三、解答题（本大题6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（10分）在
中，角，，
对应的边分别是，
，。已知cos2A—3cos(B+C)=1

（I）求角的大小；

（Ⅱ）若
的面积
，
，求
的值.

18．（12分）已知椭圆
的左焦点为，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，O为原点，为椭圆上任意一点，过
三点的圆的圆心坐标为

（1）当
时，求椭圆的离心率的取值范围；

（2）在（1）的条件下，椭圆的离心率最小时，若
的最小值为
，求椭圆的方程.

19．（12分）如图,在直棱柱
，

.

(Ⅰ) 证明:
；

(Ⅱ) 求直线
所成角的正弦值.

20．（12分）已知抛物线C的方程C：y 2 =2 p x（p＞0）过点A（1，—2）.

（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l 的距离等于
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

21．（12分）如图，四棱锥
中，平面
，底面
为菱形，
，
是
的中点，且
，点
在线段
上。

（1）当M在PC中点时，求点A到平面MBQ的距离；

（2）当二面角
的大小为
，求
的值.

22.（12分）已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y = x —
相切．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过F1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

2014—2015学年度第一学期

高二年级数学(理科)期考试题参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

三、解答题（本大题6小题，满分70分）

17．解：（1） ∵ cos2A—3cos(B+C)=1 ∴
……………1分

∴
……………3分

∴

∴
又A为三角形内角 ∴
……………5分

（2）
， c = 4

由余弦定理得
∴
……8分

又由正弦定理得

∴
…………………10分

19．方法一：

（1）证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示。 …………………………………………1分

设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，

B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，

C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)

从而
＝(－t，3，－3)，＝(t，1，0)，＝(－t，3，0)．…………2分

因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，

解得t＝或t＝－(舍去)． …………………………………………3分

于是
＝(－，3，－3)，＝(，1，0)．

因为·
＝－3＋3＋0＝0， …………………………………………4分

所以⊥，即AC⊥B1D. ……………………………………………5分

(2) 解：由(1)知，1＝(0，3，3)，＝(，1，0)，
=(0，1，0)

设
＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则

即令x＝1，则
＝(1，－，)． ……………………8分

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈
，〉|＝
＝＝. ………………11分

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. ……………………12分

方法二

证明：如图所示， ∵ ABCD－A1B1C1D1为直三棱柱，

∴ BB1⊥平面ABCD.

又AC平面ABCD，∴ AC⊥BB1. …………2分

又AC⊥BD，BD∩BB1= B ∴ AC⊥平面BB1D，

而B1D平面BB1D， ∴ AC⊥B1D. …………5分

(2) 因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于

直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．

如图所示，联结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，

所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，

所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.

由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.

在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，

从而 Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝， 即AB＝＝.

连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，

即B1D＝.

在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，

即cos(90°－θ)＝，从而sin θ＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. ……………………………12分

若采用下列解答，得分为：

（1）证明：如图所示， ∵ ABCD－A1B1C1D1为直三棱柱，

∴ BB1⊥平面ABCD.

又AC平面ABCD，∴ AC⊥BB1. …………2分

又AC⊥BD，BD∩BB1= B 所以AC⊥平面BB1D，

而B1D平面BB1D，所以AC⊥B1D. ………5分

（2）解：在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，

从而 Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，

即AB＝＝

又易知，AB，AD，AA1两两垂直，以A为坐标原点，

AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示。

则A(0,0,0)， B1(,0,3)，C(,1,0)，C1(,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)

从而1＝(0，3，3)，＝(，1，0)，
=(0，1，0) ……………………8分

设
＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则

即令x＝1，则
＝(1，－，)．……10分

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈
，〉|＝
＝＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. ………………………………12分

21. 解析：（1）法一：∵ PA=PD，Q为AD中点，∴ PQ⊥AD

又∵平面
平面
，

平面
平面

∴ PQ⊥平面ABCD

∵底面
为菱形，

∴ AD⊥BQ

故以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

则
，A(1，0，0)

∵M为PC中点， ∴ M(-1,
,
)

=(-1,
,
),
=
………………3分

设平面
的一个法向量为

，

则
即

令z=2，则 x=
，y=0 ∴平面
的一个法向量
(
，0，2)

∴ d=
=
，即点A到平面MBQ的距离为
。………………6分

法二：等体积法，略

（2） 由（1）知： PQ⊥面CBQ, ∴
=（0,0，
）为平面CBQ的一个法向量……7分

设
(
), ∴
，

设平面
的一个法向量为

，

∴

取

， ……………………9分

由二面角
大小为
，可得：

，解得
， …………………………………………11分

∴
…………………………………………12分

（2）① 若直线l1的斜率存在时，设为k （k≠0），则l 2的斜率为—

所以直线l 1方程为 y= k（x+1）， 设PQ与椭圆的交点坐标为：P（x1，y1）， Q（x2，y2），
化简得 2
+1）
+4
x + 2
—2= 0

则
，
………………………………6分

=

同理可得