时间：120分钟 满分：150分

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．某大学数学专业一共有
位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为
的

样本，已知
号、
号、
号同学在样本中，那么样本中还有位同学的编号应该为 ( )

A．
B．
C．
D．

2.命题“对任意
，都有
”的否定为( )

A.对任意
，都有
B.对任意
，都有

C.存在
，使得
D.存在
，使

3．如图，若
时，则输出的数等于( )

A.
B.

C.
D.

4．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表

广告费用（万元）

4

2

3

5



销售额（万元）

49

26

39

54



根据上表可得回归方程
中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售

额为 ( )

A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元

5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为

A.
B.
C.
D.

6．圆
和圆
的公共弦长为 (　　)

A．
B．
C．
D．

7．2015年亚洲杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别

从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人

均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )

A．18种 B．36种 C．48种 D．72种

8．下列命题中，正确的个数为 （ ）

①设随机变量
服从正态分布N（0，1），若
；②“
”是“
”的充分不必要条件；

③“
”是“
”的必要不充分条件；

④“
”是“
”的既不充分又不必要条件；

A．0 B．1 C．2 D．3

9．记
确定的区域为
,
确定的区域为
,在区域
中每次任取个点,连续取
次得到
个点,则这
个点中恰好只有个点在区域
中的概率为 ( )

A．

B．
C．
D．

10.圆
的方程为
，圆
的方程为
，过圆
上任意一点作圆
的两条切线
，切点分别是
，则
的最小值是 ( )

A.12 B.10 C.6 D.5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11. 已知直线
：
,
：
,若
,则的值为 ．

12. 总体由编号为
的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．

7815 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0805



3204 9234 4935 8200 3623 4869 6936 7481





13．在
的展开式中，
的系数为 ．

14、已知直线
，点
，若在直线
上存在一点，使得
最大，则点坐标为

15．设有一组圆
：
(为正整数)，下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相交

②存在一条定直线与所有的圆均不相交

③所有的圆均不经过原点

④存在一条定直线与所有的圆均相切

其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．（本小题满分12分）高二某班
名学生在一次百米测试中，

成绩全部都介于
秒到
秒之间，将测试结果按如下方式

分成五组，第一组
，第二组
…,第五组

，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩在区间
内规定为良好，求该班在这次百

米测试中成绩为良好的人数；

（2）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数

（精确到
）．

17．(12分)已知p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程

x2－x＋a＝0有实数根。若
求实数a的取值范围．

18. （本小题满分12分）已知
的顶点
边上的中线
所在直线方程为
，
边上的高
所在直线方程为
.求

（1）顶点
的坐标；（2）直线
的方程.

19.(本小题满分12分）已知：
设
.

(1) 求的值；(2)
的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；

（3）求
的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

20、（本小题满分13分）中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁

山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用
表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望。

21．（本小题满分14分）如图，圆：
．

（1）若圆与轴相切，求圆的方程；

（2）求圆心
的轨迹方程；

（3）已知
，圆
与轴相交于两点
（点
在点的左侧）．过点
任作一条直线与圆：
相交于两点
．问：是否存在实数，使得
？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

高二理数答案

一、选择题

BCDBC ADBAC

二、填空题

11、0或
12、05； 13、
； 14、（3，2）； 15、①②③④

16．（本小题满分12分）高二某班
名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于
秒到
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组
，第二组
…,第五组
，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩在区间
内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；

（2）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位数（精确到
）．

解：（1）根据直方图可知成绩

在
内的人数：
人

（2）由图可知众数落在第三组
是

因为数据落在第一、二组的频率

数据落在第一、二、三组的频率

所以中位数一定落在第三组
中.假设中位数是，所以
解得中位数

17．(12分)已知p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程

x2－x＋a＝0有实数根。若
求实数a的取值范围．

18. （本小题满分12分）已知
的顶点
边上的中线
所在直线方程为
，
边上的高
所在直线方程为
.求

（1）顶点
的坐标；（2）直线
的方程.

解：（1）由已知得直线
的方程为：
………………3分

解方程组
得
…………………5分

（2）设
，则
………………………6分

在直线
上

即
………8分

在直线
上

…………………9分

由
得
，即
…………………………10分

于是直线
的方程为：
…………………………12分

19.(本小题满分12分）已知：
设
.

(1) 求的值；(2)
的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；

（3）求
的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

解：（1）由已知
得：
……………2分

解得:
…………………………………4分

（2）当
时，
展开式的通项为
要为有理项则

为整数，此时可以取到0,3,6, ……………7分

所以有理项分别是第1项，第4项，第7项； ………………………8分

（3）
展开式的通项为

的展开式中共有8项,其中第四项和第五项的二项式系数最大,而第五项的系数为正且等于第五项的二项式系数,故第五项的系数最大,即系数最大项为
=
…………………10分

第四项的系数为负且等于第四项二项式系数的相反数,故第四项的系数最小,即系数最小项为
…12分

20、中国黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，

再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用
表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望。

解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：
.………………………2分

（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为
人，“非高个子”为人；

则至少有1人为高个子的概率＝1－
……………6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则
的可能取值为0,1，2,3；

故
，
，
，
，

即
的分布列为：

0

1

2

3
















＝0
＋1
＋2
＋3
＝
。

答：（略） ……………………………12

21．（本小题满分14分）如图，圆：
．

（1）若圆与轴相切，求圆的方程；

（2）求圆心
的轨迹方程；

（3）已知
，圆
与轴相交于两点
（点
在点的左侧）．过点
任作

一条直线与圆：
相交于两点
．问：是否存在实数，使得

？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）由圆与轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆的方程化成标准方程为：
，由
求得
.即可得到所求圆的方程为：
；

（2）求圆心
点坐标为
，则
圆心
点的轨迹方程为

（3）令
，得
，即
所以

假设存在实数，当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为
，

代入
得，
，

设
从而

因为

而