考试时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.命题
的否定是

A.
B.

C.
D.

3．双曲线
的渐近线方程为

A.
B.
C.
D.

4．方程
表示焦点在轴上的椭圆，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

5．同时掷两个骰子，则向上的点数和为8的概率是

A.
B.
C.
D.

6．根据秦九韶算法求
时
的值，则
为

A.
B.
C.
D.

7．在长方体
中，
，
为
与
的交点，则三棱锥
的体积为

A.
B.
C.
D.

8．右面的程序框图表示求式子
的值，则判断框内

可以填的条件为

A.
B.
C.
D.

9．已知
和是两个分类变量，由公式
算出
的观测值
约为
，根据下面的临界值表可推断

0.10

0．05

0.025

0．010

0.005

0．001





2.706

3．841

5.024

6.635

7.879

10．828





A.推断“分类变量
和没有关系”犯错误的概率上界为0.010

B.推断“分类变量
和有关系”犯错误的概率上界为0.010

C.有至少99%的把握认为分类变量
和没有关系

D.有至多99%的把握认为分类变量
和有关系

10．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学的平均分比乙同学低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．

上面说法正确的是

A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③

11．三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
是
的中点，点在
上，且满足
，直线
与平面
所成角
的正切值取最大值时
的值为

A.
B.
C.
D.

12．已知
是抛物线
上异于顶点
的两个点，直线
与直线
的斜率之积为定值
，为抛物线的焦点，
的面积分别为
，则
的最小值为

A.
B.
C. D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．在100个产品中，一等品20个，二等品30个，三等品50个，用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本，则抽取到的二等品的个数为__________.

14．在集合
内任取一个元素，能使代数式
的概率为__________.

15．直线
与抛物线
交于
两点，若点
，则
的值为__________.

16．下列关于回归分析的说法正确的是 (填上所有正确说法的序号).

①相关系数越小，两个变量的相关程度越弱；②残差平方和越大的模型，拟合效果越好；③用相关指数
来刻画回归效果时，
越小，说明模型的拟合效果越好；④用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使
取最小值时的
的值；⑤在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高.

三、解答题（本大题共6小题，17题满分10分，18、19、20、21、22题每题12分，共70分）

17.某学校从参加高一年级期末考试的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
，
，…，
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和

平均分；

(Ⅲ) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，

求他们在同一分数段的概率.

18.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：
平面BCD；

(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的余弦值.

19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:

日 期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日



昼夜温差x(°C)

10

11

13

12

8

6



就诊人数y(个)

22

25

29

26

16

12



该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．

（Ⅰ）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程
；

（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式:
，
)

20．如图，三棱柱
侧棱垂直于底面，
，
，
，
分别是
，
的中点．

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面ABE；

(Ⅲ) 求三棱锥
的体积．

21. 已知椭圆
：
的左、右焦点分别是
、
，
是椭圆外的动点，满足
点P是线段
与该椭圆
的交点，点在线段
上，并且满足

(Ⅰ) 求点的轨迹
的方程；

(Ⅱ) 过原点的直线
与曲线
分别交于点
（
不重合），

设
，
的面积分别为
，
，求
的取值范围.



一、选择题

1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.B 10.A 11.A 12.D

二、填空题

13. 6 14.
15. 2 16. ④⑤

三、解答题

17.（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

…2

第四组小矩形的高为

这次考试的及格率为
…4

利用组中值估算抽样学生的平均分

＝71

估计这次考试的平均分是71分 …6

（Ⅲ）
，
”的人数是5,1.设
这5个人分别为a,b,c,d,e.

1人为f,从这6个人中取两个人的基本事件为（a,b）(a,c)(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),

(e,f)共计15个，所以从成绩是80分以上（包括80分）的5个学生中选两人来自同一组所含基本事件为（a,b）(a,c)(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e), (c,d),(c,e), (d,e)共10个，所以他们在同一分数段的概率
…10

18.(Ⅰ)证明：
为
的中点，
，

，
，
，

，

又

，
，

，
均在平面
内，
平面
…6

(Ⅱ)方法一：设
的中点分别是点
，连
，

则
或其补角即异面直线
所成角，

平面
，
平面
，
平面
，

，

故异面直线
所成角的余弦值为
． …12

方法二：以
为坐标原点，以
方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则

故异面直线
所成角的余弦值为
．

19.解： (Ⅰ) 由数据求得

由公式求得

再由

所以关于的线性回归方程为
…8

(Ⅱ)当
时,
,
；

同样, 当
时,
,
…12

所以,该小组所得线性回归方程是理想的．

20. 解：

(Ⅰ) 证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，

所以AB⊥平面B1BCC1.

所以平面ABE⊥平面B1BCC1. …4

(Ⅱ)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，

所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，

所以C1F∥EG.

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，

所以C1F∥平面ABE. …8

（Ⅲ）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝＝.

所以三棱锥E - ABC的体积

V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝. …12

21. (Ⅰ)连接
，连接

，

的轨迹方程为
. …4

(Ⅱ)①若直线
斜率存在，设直线
的方程为
,

,

，

…8

…10

②若直线
斜率不存在

=

综上：
…12

22. (Ⅰ)
…2

(Ⅱ)设