山师附中2011级高三第一次模拟考试

数学试题

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合
，
，若
，则
（　　）

Ａ.　
　　 Ｂ.　
　 Ｃ.　
　 Ｄ.　

2、已知
，则
（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

3、已知函数
，则下列结论正确的是（ ）

Ａ.
Ｂ.

Ｃ.
Ｄ.

4、设
，则“
”是“
”的（ ）

Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件

5、若
，
，则（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

6、等差数列
中
，则
（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

7、在不等式组
确定的平面区域中，若
的最大值为
，则的值为（ ）

Ａ. Ｂ. Ｃ.
Ｄ.

8、若
，则
（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为
，其全程的平均时速为，则（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

10、已知关于的方程
的解集为，则中所有元素的和可能是（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

11、已知点
是直线
上的动点，点
为圆
上的动点，则
的最小值为（ ）

Ａ.
Ｂ. Ｃ.
Ｄ.

12、已知定点
，
是圆
上的任意一点，点
关于点
的对称点为
，线段
的中垂线与直线
相交于点，则点的轨迹是（ ）

Ａ. 椭圆 Ｂ. 双曲线 Ｃ. 抛物线 Ｄ. 圆

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13、已知
满足
，则
。

14、已知递增的等差数列
满足
，则
。

15、设
是线段
的中点，点在直线
外，
，
，则
。

16、已知
为抛物线
上的两点，点
的横坐标分别为
，过
分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17、（本小题12分）已知函数

求
的最小正周期。

若将
的图像向右平移
个单位，得到函数
的图像，求函数
在区间
上的最大值和最小值。

18、（本小题12分）已知数列
的前项和为
，且
。

（1）证明：数列
为等比数列；

（2）若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式。

19、（本小题12分）在
。

已知

求证：
成等比数列。

.

20、（本小题12分）已知递增的等比数列
满足：
，且
是
的等差中项。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，
，求
。

21、（本小题13分）定义在上的函数
同时满足以下条件：

①
在
上是减函数，在
上是增函数；

②
是偶函数；③
在
处的切线与直线
垂直。

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，求函数
在
上的最小值。

22、（本小题13分）已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，斜率为的直线
与椭圆
交于
两点，以
为底边作等腰三角形，顶点为
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的面积。

2011级高三第一次模拟考试数学参考答案（2013.9）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

C

D

A

B

A

D

A

B

C

B



二、填空题

13、
；14、
；15、；16、
；

三、解答题

17、解：（1）

……………3分

………5分

于是
。…………………………6分

（2）由已知得
……………………8分

∵
，∴

∴
，…………………………10分

∴
…………………………12分

故函数
在区间
上的最大值为，最小值为
。

18、解：（1）由已知

当
时，有
……………………2分

两式相减得

整理得
…………………………4分

当
时，
……………………5分

故数列
是首项为，公比为
等比数列。…………………………6分

（2）由（1）可知
，
……………………7分

由
可得

……

…………………9分

累加得
………………10分

又
，于是
……………………12分

19、解：（1）由

可得

…………………………2分

去分母得
……………………3分

即
。…………………………4分

由
可知

于是
…………………………5分

由正弦定理得
，故
成等比数列。………………………………6分

（2）由
可得
。

由余弦定理得
，………………………8分

∵
，∴
…………………………10分

∴
。……………………12分

20、解：（1）设等比数列
首项为
，公比为。

由已知得
………………1分

代入
可得
。……………………3分

于是
。

故
，解得
或
。……………………5分

又数列
为递增数列，故
，∴
…………6分

（2）∵
…………………………7分

∴

…………………………9分

两式相减得
…………………………10分

∴
………………………………12分

21、解：（1）
……………………1分

由已知得
，即
，……………………4分

解得
。……………………5分

故函数
的解析式为
……………………6分

（2）∵
，……………………7分

∴
………………………………8分

令
得
。当
时，
，函数
单调递减；当
时，
，函数
单调递增。……………………9分

若
，在
上函数
单调递增，此时
；…10分

若
即
，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，此时
；………………………………11分

若
即
，在
上函数
单调递减，

此时
；……………………12分

综上可知，函数
在
上的最小值

。…………………………13分

22、解：（1）由已知得
，解得
…………1分

于是
……………………2分

∴求椭圆
的方程为
。………………3分

（2）设直线
的方程为
，交点
，
中点
……4分

联立
，消元整理得
………………6分

于是

可得
………………………………8分

由
……………………8分

可得
，
，即
…………………………9分

∵
为等腰三角形的底边，∴

∴
，解得
，符合要求。………………10分

此时

所以

………………………………11分

又点
到直线
的距离