汕头四中2014届高三第一次月考

数学（理）试题

本试卷满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.

5、不可以使用计算器.

参考公式：回归直线
，其中
.

锥体的体积公式：
,其中S表示底面积，h表示高．

一．选择题（共8小题，每小题5分）

1．在复平面内，复数
对应的点位于

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2．已知集合
，
，那么

(A)
或
(B)
(C)
或
(D)

3．已知平面向量
，
的夹角为60°，
，
，则

(A) 2 　　　　　　 (B)
　　　　(C)
　　　　　　 (D)

4．设等差数列
的公差
≠0，
．若
是
与
的等比中项，则

(A) 3或 -1 　　　　　 (B) 3或1 　　　 (C) 3 　　　　　　　 (D) 1

5．
的展开式中常数项是

(A) -160 　　　　　 (B) -20 　　　 (C) 20 　　　　　　(D) 160

6．已知函数
若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点
，则点M取自阴影部分的概率为

(A)
　(B)
(C)
　　 (D)

8．已知函数
，
(a>0)，若
，
，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是

(A)
(B)
(C)
(D)

二．填空题（共6小题，每小题5分）

（一）必做题：

9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为
，则cosα= 　　　　　 ．

10.已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于 。

11．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为 　 ，渐近线方程为 　 ．

12．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为　　　kg；

若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．

13．将全体正奇数排成一个三角形数阵：

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

……

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 　　　　 ．

（二）选做题：

14．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线
（t为参数）的距离为 　　　　 ．

15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ．

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．(本题满分12分)

在
中，角
、
、
所对的边分别为
，
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求函数
的最小正周期和单调递增区间．

17. （本小题满分12分）

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．

(1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；

(3)求比赛局数的分布列．

19．（本题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且
，n=1，2，3…

（1）求a1，a2；

（2）求Sn与Sn﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{
}是等差数列；

（3）求S1?S2?S3…S2011?S2012的值．

20. （本题满分14分）

在平面直角坐标系
中，动点
到两点
，
的距离之和等于
，设点
的轨迹为曲线
，直线
过点
且与曲线
交于
，
两点．

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）是否存在△
面积的最大值，若存在，求出△
的面积；若不存在，说明理由.

21．(本题满分14分)

已知函数
，
为函数
的导函数．

（1）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是
，求
的值；

（2）若函数
，求函数
的单调区间．

汕头四中2013—2014学年度高三级第一次月考试卷

数学(理科)试题 参考答案

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．
10.
11．
，
12．

13． n2-n+5 14．2 15

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

二、解答题：

16、解：（Ⅰ）
……………………………2分

由
得
,

又A为钝角，故B为锐角

（没指出B范围扣1分） ………………5分

（Ⅱ）
……………………………7分

所以，所求函数的最小正周期为

由

得

所以所求函数的单调递增区间为
（没写区间及指出K为整数扣1分）………12分

17解：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.………1分

记“甲以4比1获胜”为事件A，

则P(A)＝
()3·()4－3·＝.………3分

(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.

因为乙以4比2获胜的概率为P1＝

·
·＝，

乙以4比3获胜的概率为P2＝
·
·＝，

所以P(B)＝P1＋P2＝.………7分

18、解：证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分

∵BC∥AD且BC=
AD，即BC
AQ．

∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，

∴ MN // PA ……………………2分

∵ MN
平面MQB，PA
平面MQB，…………………3分

∴ PA // 平面MBQ． ……………………4分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分

∵BQ
平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． …………………9分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …………………6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …………………8分

∵ AD
平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．……………10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．………11分

设
，

则
，
，∵
，

∴
， ∴
……………………12分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
． ……………………13分

∵二面角M-BQ-C为30°，
，∴
．……14分

19. （1）解：当n=1时，由已知得
，解得

同理，可解得
……………………（4分）

（2）证明：由题设

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1

代入上式，得SnSn﹣1﹣2Sn+1=0

∴
，……………………（7分）

∴
=﹣1+

∴{
}是首项为
=﹣2，公差为﹣1的等差数列 …………………（10分）

∴
=﹣2+（n﹣1）?（﹣1）=﹣n﹣1

∴Sn=
…（12分）

（3）解：S1?S2?S3…S2011?S2012=
?
?
…?
?
=
（14分）

则

整理得
．…………………………………8分

由
．

设
．

解得
，
．

则
．

因为

． ………………………11分

设
，
，
．

则
在区间
上为增函数．

所以
．

所以
，当且仅当
时取等号，即

所以
的最大值为
．………………………………………………………………14分

21解：（Ⅰ）∵
，

∴
． ……………………1分

∵
在
处切线方程为
，

∴
， ……………………3分

∴
，
． （各1分） …………………5分

（Ⅱ）


．

． ………………7分

①当
时，
，



0







-

0

+







极小值






的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ………………9分

②当
时，令
，得
或
……………10分

（ⅰ）当
，即
时，



0











-

0

+

0

-







极小值



极大值






的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
；……11分

（ⅱ）当
，即
时，

，

故
在
单调递减； ……12分

（ⅲ）当
，即
时，







0







-

0

+

0

-







极小值



极大值