张家界市一中2014届高三第一次月考文科数学参考答案

一、选择题：（本大题共9小题，每小题5分，共45分）

1．已知集合
，则
（ C ）

A、
B、
C、
D、

2．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数
的取值范围是( A )

A．
B．
C．
D．

3．某正三棱柱的三视图如右图所示，其中正视图是边长为2的正方形，

则该正三棱柱的表面积为（ B ）

A、
B、
C、
D、

4．设数列
的前n项和为
，若
，则
（ D ）

A、
B、
C、
D、

5．在
中，
，且CA=CB=3，点M满足
，则
等于（ B ）

A．2 B．3 C．4 D．6

6．已知数列
，
，若该数列是递减数列，则实数
的取值范围是( A )

A.
B.
C.
D.

7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　A　）

　A．直角三角形 B． 锐角三角形 C．钝角三角形 D． 不确定

8．若命题“
”是假命题，则实数
的最小值为（ D ）

A、
B、
C、
D、

9．函数
的图像因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”。

则方程
的实数根的个数为（ C ）

A、1 B、2 C、3 D、4

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10．若
，则三个数从小到大依次是 b＜a＜c （用＜符号表示）。

11．已知函数
在
上为奇函数，则
-1 。

12．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝
.

13．如果实数x,y满足条件
那么
的最大值为 1 。

14．函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线 ＋－1＝0(m>0，n>0)上，

则m＋n的最小值为 4 。

15．以下四个命题： ①在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
，则
；

②设
是两个非零向量且
，则存在实数λ，使得
；

③方程
在实数范围内的解有且仅有一个；

④
；

其中正确的是 ①②③④

三、解答题：（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）已知f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜
.

(1)若cos
cos φ－sin
sin φ＝0，求φ的值；

(2)在(1)的条件下，若f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，求f(x)的解析式，并求最小正实数m，使f(x)的图象向右平移m个单位后对应的函数是偶函数.

【解】(1)由已知得
cos φ＝
sin φ，即tan φ＝1.又|φ|＜
，所以φ＝
.

(2)由(1)知f(x)＝sin(ωx＋
)，又f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，

所以
＝
，T＝
.ω＝
＝3，故f(x)＝sin(3x＋
).

f(x)的图象向右平移m个单位后得到的图象为g(x)，则g(x)＝sin[3(x－m)＋
].

由g(x)为偶函数知－3m＋
＝kπ＋
，即m＝－
－
，且m＞0，

故k＝－1时，即m＝
时，g(x)为偶函数.

17．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1 (a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求a＋b的最小值.

【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1, 3]上是减函数.

所以f′(x)≤0在[－1, 3]上恒成立.则

作出点(a，b)表示的平面区域.

令z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0与6a－b＋9＝0的

交点A的坐标(－1, 3).

当直线a＋b=z过点A(－1, 3)时，z＝a＋b取最小值2.

18．（本小题满分12分）在正方体
中，棱长为2，
是棱
上中点，
是棱
中点，

（1）求证：
面
；（2）求三棱锥
的体积．

解：（1）取
中点
，连接
，

则
为中位线，
，…………2分

而正方体
，
是棱
上中点，

故
， ………3分

，所以四边形
为平行四边形。

， ………4分

而
面
，
面
，

故
…………6分

（2）正方体
中，
，故
为高，
………8分

………10分

故
………12分

19. （本小题满分13分）设
是正数组成的数列,
.若点
在函数
的导函数
图像上.

(1)求数列
的通项公式；

(2)设
,是否存在最小的正数
,使得对任意

都有
成立？请说明理由.

解：（1）
……1分

由点
在
图像上，得
……2分

整理得：
……4分

∵
，∴
……5分

∴
是首项为
=3，公差为2的等差数列. ∴
……6分

（2）
……7分

∴
……9分

=
……11分

∴
∴存在最小的正数
,使得不等式成立. ……13分

20．（本小题满分13分）已知命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

解　命题p为真命题等价于ax2－x＋a>0对任意实数x均成立．当a＝0时，－x>0，其解集不是R，

∴a≠0. 于是有 解得a>2， 故命题p为真命题等价于a>2.

命题q为真命题等价于a>＝＝对一切实数x均成立．

由于x>0，∴>1，＋1>2，

∴<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.

根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，

当p真q假时实数a不存在；

当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.

21．（本小题满分13分）已知函数
，
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）若函数
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（3）在函数
的图象上是否存在不同的两点
，使线段
的中点的横坐标
与直线
的斜率
之间满足
？若存在，求出
；若不存在，请说明理由.

解：（1）
的定义域为
………1分

， ………2分

故


单调递增；


单调递减，………3分

时，
取得极大值
， 无极小值。 ………4分

（2）
，
，

若函数
在
上单调递减，

则
对
恒成立 ………5分

，只需
………6分

时，
，则
，
， ………7分

故
，
的取值范围为
………8分

（3）假设存在，不妨设
，
………9分

………10分

由
得
，整理得
………11分

令
，
， ………12分，

在
上单调递增，
，故

不存在符合题意的两点。 …………13分