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淮安市车桥中学

2013—2014年度上学期暑假复习暨期初自主检测试卷

高三数学 2013.9.5

时间：120分钟 总分：160分

填空题（共14*5=70分）

已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为 ▲ ．

复数
的实部为 ▲ ．

3．命题“
，
”的否定为 ▲ ．

4. 为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ ．

5. 已知
，则
▲ ．

6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ▲ ．

7．若向量、满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则|+2|＝ ▲

8. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝ ▲ ．

9.已知函数
（
） 的部分图象如上图所示，则
的函数解析式为 ▲ ．

如果圆x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆x2＋y2＝4总相交，则a的取值范围是 ▲ ．

过点
.与函数
（
是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ▲ ．

12.若关于
的方程
的两个根
满足
则实数
的取值范围是 ▲ ．

13. 对于函数
定义域为
而言，下列说法中正确的是 ▲ ．（填序号）

①函数
的图像和函数
的图像关于
对称。

②若恒有
，则函数
的图像关于
对称。

③函数
的图像可以由
向左移一个单位得到。

④函数
和函数
图像关于原点对称。

已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为 ▲ ．

解答题（共六小题，共90分）

（本小题满分14分）

已知集合
，

（1）若
，求实数
的值；

（2）设全集为R，若
，求实数
的取值范围。

16.（本小题满分14分）已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．

（1）若a∥b，求sin2θ的值；

（2）若a⊥b，求tan(θ＋)的值．

17．（本小题满分14分）

如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．

（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；

（2）求证：A1B//平面ADC1．

18．（本小题满分16分）

如图所示，某市政府决定在以政府大楼
为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径
，
，
与
之间的夹角为
.

（1）将图书馆底面矩形
的面积
表示成
的函数.

（2）求当
为何值时，矩形
的面积
有最大值？其最大值是多少？

(用含R的式子表示)

19．（本小题满分16分）

已知圆
的方程为
，直线
的方程为
，点
在直线
上，过
点作圆
的切线
，切点为
。

（1）若
，试求点
的坐标；

（2）若
点的坐标为
，过
作直线与圆
交于
两点，当
时，求直线
的方程；

（3）经过
三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由。

20．（本小题满分16分）

设t＞0，已知函数f (x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．

（1）求函数f (x)的单调区间；

（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－恒成立，求t的最大值；

（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．

2013—2014年度上学期暑假复习暨期初自主检测试卷高三数学答案

1．4 2.3 3.
4.4 5.
6. 7.
8. 11

9.
10.
11.
12.

②④ 14.

(1)m=5 ------------------------------ 6分

(2)
-------------------- 14分

16.（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0， …………………3分

即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝． …………………6分

（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0． …………………8分

所以tanθ＝－． …………………10分

所以tan(θ＋)＝＝． …………………14分

17.证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．

因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD(平面ABC，

所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分

因为DC1(平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分

（2）(证法一)

连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A1C的中点．

因为D为BC的中点，所以OD//A1B． …………………12分

因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，

所以A1B//平面ADC1． …………………15分

(证法二)

取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1BD．

所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．

因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，

所以D1B//平面ADC1．

同理可证A1D1//平面ADC1．

因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，

所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………12分

因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………15分

18.解（Ⅰ）由题意可知，点M为
的中点，所以
.

设OM于BC的交点为F，则
，
.

.

所以

，
. ………10分

（表达式8分，定义域2分）

（Ⅱ）因为
，则
.

所以当
，即
时，S有最大值.

.

故当
时，矩形ABCD的面积S有最大值
. …………16分

19，解：（1）设
，由题可知
，所以
，解之得：
, 故所求点
的坐标为
或
．( 5分)

（2）设直线
的方程为：
，易知
存在，由题知圆心
到直线
的距离为
，所以
，( 7分) 解得，
或
，

故所求直线
的方程为：
或
．( 10分)

（3）设
，
的中点
，因为
是圆
的切线

所以经过
三点的圆是以
为圆心，以
为半径的圆，

故其方程为：
(12分)

化简得：
，此式是关于
的恒等式，故

（14分） 解得
或

所以经过
三点的圆必过异于点M的定点
(16分)

20，解：（1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f ′(x)＞0，

所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f (x)的单调增区间；

当0＜x＜时，f ′(x)＜0，所以(0，)为函数f (x)的单调减区间． ………………4分

（2）因为k＝3x02－2tx0≥－恒成立，所以2t≤3x0＋恒成立， …………………6分

因为x0∈（0，1]，所以3x0＋≥2＝，

即3x0＋≥，当且仅当x0＝时取等号．

所以2t≤，即t的最大值为． …………………8分

（3）由（1）可得，函数f (x)在x＝0处取得极大值0，在x＝处取得极小值－．

因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f (x)的图象有两个不同的交点，

所以直线l的方程为y＝－． …………………10分

令f (x)＝－，所以x2(x－t)＝－，解得x＝或x＝－．

所以C（，－），D（－，－）． …………………12分

因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．

AD＝，且AD＝AB＝t，

所以＝t，解得：t＝． …………………16分