北京101中学2013－2014学年上学期高三年级阶段性考试数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题有8道小题，共40分，每小题5分）

1. 已知集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 若函数
则
（ ）

A.
B. 1 C.
D. 3

3. 定义在
上的函数
在区间
上是增函数，且
的图象关于
对称，则（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 设复数
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 设等比数列
的前
项和为
，若
，则下列式子中数值不能确定的是（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则此几何体的体积
的大小为（ ）

A.
B. 12

C.
D. 16

7. 已知点
的坐标满足条件
，那么
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 过点
作圆
的弦，其中弦长为整数的共有（ ）

A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条

二、填空题：（本大题有6道小题，共30分，每小题5分）

9. “函数
在
上存在零点”的充要条件是 。

10. 若
，
，
，则
从小到大的顺序为 。

11. 函数

，
，
，且
最小值等于
，则正数
的值为 。

12. 给定两个长度为1的平面向量
和
，它们的夹角为
，点
在以
为圆心的劣弧
上运动，若
=

+

，其中
，则
的取值范围是 。

13. 如果执行如图所示的程序框图，输入
，
，则输出的数
。

14. 若数列
的通项公式
，记
，试计算
，推测
。

三、解答题：（本大题有6小题，共80分）

15. （本小题13分）在
中，已知

（1）求
；

（2）若
，
的面积是
，求
。

16. （本小题13分）如图所示，正方形
与矩形
所在平面互相垂直，
，点
为
的中点。

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：


；

（3）在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由。

17. （本小题13分）某品牌汽车的4
店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4
店经销一辆该品牌的汽车，顾客若一次付款，其利润为1万元；若分2期付款或3期付款，其利润为1.5万元；若分4期付款或5期付款，其利润为2万元。用
表示经销一辆该品牌汽车的利润。

付款方式

一次

分2期

分3期

分4期

分5期



频数

40

20

a

10

b



（1）若以频率作为概率，求事件
：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率
；

（2）求
的分布列及其数学期望
。

18. （本小题14分）已知函数
，

（1）求函数
的极值点；

（2）若直线
过点
，并且与曲线
相切，求直线
的方程；

（3）设函数
，其中
，求函数
在
上的最小值（其中
为自然对数的底数）。

19. （本小题14分）已知椭圆
：

，

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，设过定点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，且
为锐角（
为坐标原点），求直线
的斜率
的取值范围；

（3）过原点
任意作两条互相垂直的直线与椭圆
：

相交于
四点，设原点
到四边形
的一边距离为
，试求
时
满足的条件。

20. （本小题13分）设
是由
个实数组成的
行
列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”。

1

2

3







1

0

1



（1）数表
如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1

（2）数表
如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数
的所有可能值；表2

（3）对由
个实数组成的
行
列的任意一个数表
，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由。

【试题答案】

一、选择题：

1. D

2. A

3. C

4. B

5. D

6. C

7. D

8. C

二、填空题：

9.
或

10.

11. 1

12.

13.

14.

三、解答题：

15. （1）
；（2）

16. （1）略；（2）略；

（3）存在点
，
，使二面角
的大小为

17. （1）
；

（2）
的分布列为

1

1.5

2





0.4

0.4

0.2





18. （1）
是函数的极小值点，极大值点不存在；

（2）
；

（3）当
时，
的最小值为0；

当
时，
的最小值为

当
时，
的最小值为

19. （1）

（2）

（3）

20.

（1）解：法1：

法2：

法3：

……3分

（2）每一列所有数之和分别为2，0，
，0，每一行所有数之和分别为
，1；

①如果首先操作第三列，则有

则第一行之和为
，第二行之和为
，

这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，

所以
或

当
时，则接下来只能操作第一行，

此时每列之和分别为

必有
，解得

当
时，则接下来操作第二行，

此时第4列之和为负，不符合题意。 ……6分

②如果首先操作第一行，则有

则每一列之和分别为
，
，
，

当
时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉

当
时，
，
至少有一个为负数，

所以此时必须有
，即
，所以
或

经检验，
或
符合要求

综上：
……9分

（3）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数。证明如下：

记数表中第
行第
列的实数为
（
），各行的数字之和分别为
，各列的数字之和分别为
，
，
，数表中
个实数之和为
，则
。记

。

按要求操作一次时，使该行的行之和（或该列的列之和）由负变正，都会引起
（和
）增大，从而也就使得
增加，增加的幅度大于等于
，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，
必然小于等于最初的数表中
个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，
就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。 ……13分