江西省红色六校2014届高三第一次联考数学试题

（分宜中学、南城一中、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学、遂川中学）

命题人：任弼时中学 莲花中学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合M={y|y=
,x＜0},N=
,则M∩N=( )

A.(1,+∞) B.(0,1) C.
D. (0,1)∪(1,+∞)

2、在复平面内，复数
对应的点的坐标为（ ）

A.(0，-1) B.(0,1) C.
D.

3、已知数列
是各项均为正数的等比数列，
=1，
=4，则

=（ ） A.20 B.32 C.80 D.

4、投掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则P（A|B）=（ ）

A.
B.
C.
D.

5、已知抛物线
（p＞0）的焦点F恰好是双曲线
的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为( )

A.
B.2 C.
+1 D.
-1

6、设等差数列{
}的前n项和为
,已知
=-2012,
=2,则
=( )

A.-2013 B.2013 C.-2012 D. 2012

7、函数f(x)=sin
+acos
(＞0)的图像关于M(
,0)对称,且在
处函数有最小值,则
的一个可能取值是( )

A.0 B.3 C.6 D. 9

8、设函数
，g(x)=
+b
+c,如果函数g(x)有5个不同的零点,则( )

A.b＜-2且c＞0 B.b＞-2且c＜0 C.b＜-2且c=0 D. b≥-2且c＞0

9、设函数
，数列
满足
,且数列
为递增数列,则实数a的取值范围为( )

A.(2,3) B.(1,3) C.(1,+) D. (2, +)

10、一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的
点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积
关于时间的函数为
，则下列图中与函数
图像最近似的是（　 　）．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请把答案填在答题卡上。

11．
_____________

12．设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且是以4为周期的周期函数，当x∈［0,2］时，f(x)=2x-cosx,则a=f(-
)与b=f(
)的大小关系为____________.

13. 在边长为1的正三角形ABC中，
＝x
，
＝y
，x>0，y>0，且x＋y＝1，则
·
的最大值为_____________

14.命题：“存在实数x,满足不等式
”是假命题,则实数m的取值范围是__ ______________.

15． （在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分）

（1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，定点
，点在直线
上运动，则线段
的最短长度为 .

（2）（不等式选讲）已知不等式
有实数解，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(12分)在⊿ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)已知函数f(A,C)=cos2A+sin2C,求f(A,C)的最大值。

17．(12分)已知A,B,C,D四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为a,b,c,d,把A,B,C,D和a,b,c,d分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来, 构成“一一对应”.规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”,否则称为“连错”,连对一条得2分,连错一条得0分.

(Ⅰ)求该旅游爱好者得2分的概率.

(Ⅱ)求所得分数
的分布列和数学期望.

18．(12分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD.

(Ⅰ)求证：BC∥平面PAD；

(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证：EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.

19．(12分)（理）已知函数f(x)=
-lnx,x∈[1,3].

(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值；

(Ⅱ)若f(x)＜4-at对于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.

20．（13分）已知椭圆：
，离心率为
，焦点
过
的直线交椭圆于
两点，且
的周长为4.

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ) 直线
与y轴交于点P(0,m)(m0),与椭圆C交于相异两点A,B且
.若
,求m的取值范围。

21．(14分)对于任意的
（不超过数列的项数），若数列的前项和等于该数列的前项之积，则称该数列为
型数列。

（1）若数列
是首项
的
型数列，求
的值；

（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数列都不是
型数列；

（3）若数列
是
型数列，且
试求
与
的递推关系，并证明
对
恒成立。

江西省红色六校2014届高三第一次联考数学试题(理)

命题：任弼时中学 李忠华 审题：莲花中学 尹少军

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

A

C

C

D

C

A

B





二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请把答案填在答题卡上

11.π 12.a>b 13.
14.m>
　　　15．(1)
(2)

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16． 解：(Ⅰ)∵ (2a-c)cosB=bcosC　　∴ 由正弦定理得

又∵
∴

(Ⅱ)

17．解：(Ⅰ)
=

(Ⅱ)

0

2

4

8



p











E
=2

18．解：以D为原点,DA、DC、DP分别为轴建系,则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，

F(
,0，0)，E(
,
,
),P(0，0，1).

(Ⅰ)略 (Ⅱ) 略

(Ⅲ)
为平面PAD的一个法向量,设平面PAC的法向量为m=(x,y,z),则

令z=1,解得m=(1,1,1),所以

19．解： (Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x∈[1,3] 时,f(x)≤
,故对任意x∈[1,3], f(x)＜4-at恒成立,只要

4-at＞
对任意t∈[0,2]恒成立,即at＜
恒成立,记g(t)=at, t∈[0,2],所以
,

所以a<
.

20． 解：(Ⅰ)
.

(Ⅱ)设
与椭圆C的交点为A(
，
)，B(
，
)。将y=kx+m代入

得
,所以
①,

.因为
,所以
,

消去
得
,所以
,

即
,当
时,

所以
,
由①得
,解得

21．