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2013-2014学年度（上）高三第三次考试 文科数学 命题人：韩松峰 校对人：吴 磊 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，把正确答案涂在答题卡上. 1．设为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 2.已知集合，则=( ) A. B. C. D. 3．“”是“直线和直线平行”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．下列函数中，在其定义域是减函数的是( ) A. B. C. D. 5．设为三角形的一个内角，且，则（ ） A． B． C．或 D． 6．下列命题中错误的个数是（ ） ①命题“若，则”的否命题是“若，则” ②命题:,使，则,使 ③若且为假命题，则、均为假命题 ④是函数为偶函数的充要条件 A．1 B.2 C.3 D.4 7．已知是等比数列，，则=（ ） A.16（） B.16（） C.（） D.（） 8．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．若点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 10．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 11．函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像（ ） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 12．已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与轴的交点个数为（ ）sj.fjjy.org A．6 B.7 C.8 D.9 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本题共4个小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卡上. 13．设，则大小关系是_____________. 14．若变量满足约束条件，则的最大值是 . 15．已知向量、满足，则__________. 16．中，、、分别是角、、的对边，若，则角的值为__________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答案写在答题卡上. 17．（本小题满分12分） 已知向量设函数sj.fjjy.org （1）求的最小正周期与单调递减区间； （2）在中、、分别是角、、的对边，若的面积为，求的值. sj.fjjy.org 18.（本小题满分12分） 如图：在四棱锥中，底面是菱形，平面ABCD，点分别为的中点，且. (I) 证明：⊥平面； (II)求三棱锥的体积. 19.（本小题满分12分） 已知函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间，并求出在区间上的最大值． 20.（本小题满分12分） 已知圆：，是否存在斜率为的直线,使以（直线被圆截得的弦）为直径的圆经过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围. 请考生在第22～24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，四边形是边长为的正方形，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，延长交于． 求证：是的中点； （2）求线段的长． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）． （Ⅰ）化曲线、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）设曲线与轴的一个交点的坐标为（，0）（），经过点作曲线的切线，求切线的方程． 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，． （1）解关于的不等式（）； （2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围． 2013-2014学年度（上）高三第三次考试 文科数学参考答案 一、选择： BAADA CCDDB DBsj.fjjy.org 二、填空：13. 14. 15. 16. 或 三、解答： 17.解：（1） --------3分 -----------------------------------------------4分 的单调减区间为 ---------------------6分 （2）由得， ---------------------------8分 --------------------------------10分 ---------------------------------------------------12分 18.证明：(Ⅰ) 因为ABCD为菱形，所以AB=BC 又，所以AB=BC=AC， 又M为BC中点，所以 而平面ABCD，平面ABCD, 所以 又， 所以平面 …6分 （II）因为 又底面 所以 所以，三棱锥的体积 ……12分 19．解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1， ∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上， ∴f(1)＝2， ∵(1,2)在y＝f(x)上， ∴2＝－a＋a2－1＋b， 又f′(1)＝－1， ∴a2－2a＋1＝0， 解得a＝1，b＝. -------------------------------------------------------------------5分 (2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x， 由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0sj.fjjy.org ＋ f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2).10分 ∵f(0)＝，f(2)＝， f(－2)＝－4，f(4)＝8， ∴在区间[－2,4]上的最大值为8. -----------------------------12分 21．解：（Ⅰ），当时，在上恒成立， 函数 在单调递减，∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． 6分 （Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴， ∴， 9分 令，可得在上递减，在上递增， ∴，即． 12分 22.解：（1）证明：连结，则， 因为是的切线，且是圆的弦， 所以，即， 故， 所以; -----------------------------------------------------------5分 （2）连结，则由△FEB∽△BEC，得, 所以．------------------------------------------------------------------10分 23.解：（Ⅰ）曲线：；曲线：；……3分 曲线为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线为圆心为，半径为的圆……5分 （Ⅱ）曲线：与轴的交点坐标为和，因为，所以点的坐标为， 显然切线的斜率存在，设为，则切线的方程为， 由曲线为圆心为，半径为的圆得 ，解得， 所以切线的方程为或……10分 24.解：（1）不等式即为， 当时，解集为， 即； 当时，解集为全体实数； 当时，解集为 ------------------5分 （2）的图象恒在函数图象的上方， 即为对任意实数恒成立， 即恒成立， 又对任意实数恒有， 于是得， 即的取值范围是 ------- | ||||||||||||||||||||||||||||||
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