河南省许昌平顶山新乡2014届高三上学期第一次调研

数学（文）试题

一、选择题

1．已知集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．若
，则复数
的模是

A．5 B．4 C．3 D．2

3．垂直于直线
与圆
相切于第一象限的直线方程是

A．
B．
C．
D．

4．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图为正三角形，则侧视图的面积为

A．8 B．
C．
D．4

5．某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：

上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填

A．
B．
C．
D．

6．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为

A．
B．2 C．
D．4

7．设
，则

A．
B．
C．
D．

8．将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
图象的一条对称轴是

A．
B．
C．
D．

9．设
在
内单调递增，
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．设
为直线，
是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

11．已知
为定义在
上的可导函数，
对于
恒成立，且
为自然对数的底数，则

A．
B．

C．
D．
与
的大小不能确定

12．有下列四个命题：

①函数
的值域是
；

②平面内的动点P到点
和到直线
的距离相等，则P的轨迹是抛物线；

③直线
与平面
相交于点B，且
与
内相交于点C的三条互不重合的直线
所成的角相等，则
；

④若
，则

A．①③ B．②④ C．②③ D．③④

二、填空题

13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过1，3，6，10，…，可以用如图的三角形点阵表示，那么第10个点阵表示的数是 。

14．在平面直角坐标系中，若不等式组
（
为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则
的值为 。

15．已知函数

，则
。

16．在平面直角坐标系
中，已知点
是椭圆
上的一个动点，点
在线段
的延长线上，且
，则点
横坐标的最大值为 。

三、解答题

17．已知函数
。

（1）求
的最小正周期；

（2）当
时，求
的值域。

18．为了加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛，某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计。请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

（1）完成频率分布表（直接写出结果），并作出频率分布直方图；

（2）若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，试估计全校获一等奖的人数，现在从全校所有一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加决赛，某班共有2名同学荣获一等奖，求该班同学参加决赛的人数恰为1人的概率。

19．将棱长为
的正方体截去一半（如图甲所示）得到如图乙所示的几何体，点
分别是
的中点。

（1）证明：
；

（2）求三棱锥
的体积。

20．已知函数
。

（1）讨论函数
的单调区间；

（2）当
时，若函数
在区间
上的最大值为28，求
的取值范围。

21．已知
,
分别是椭圆
的左、右焦点
,
关于直线
的对称点是圆
的一条直径的两个端点.

(Ⅰ)求圆
的方程;

(Ⅱ)设过点
的直线
被椭圆
和圆
所截得的弦长分别为
,
.当
最大时,求直线
的方程.

选做题

22．选修4—1:几何证明选讲

切线
与圆切于点
,圆内有一点
满足
,
的平分线
交圆于
,
,延长
交圆于
,延长
交圆于
,连接
.

(Ⅰ)证明:
//
;

(Ⅱ)求证:
.

23.在直角坐标系
中，已知圆
的参数方程
（
为参数），以
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求圆
的极坐标方程；

（2）直线
，射线
与圆
的交点为
，直线
的交点为
，求线段
的长。

24．设正有理数
是
的一个近似值，令
。

（1）若
，求证：
；

（2）比较
与
哪一个更接近
，请说明理由。

参考答案

一、选择题

1．C

2．A

3．A

4．B

5．C

6．D

7．A

8．C

9．A

10．B

11．A

12．D

二.填空题

13. 55 14. 3 15.
16. 15

三.解答题：

17.解:

．………………………………………5分

( I ) 函数
的最小正周期
．…………………………………… 6分

( II ) 因为
，所以
，所以

，

………………………………………10分

所以
，所以
的值域为[1，3]．

………………………………………12分

18. 解：（Ⅰ）

分组

频数

频率



第1组

60.5—70.5

13

0.26



第2组

70.5—80.5

15

0.30



第3组

80.5—90.5

18

0.36



第4组

90.5—100.5

4

0.08



合计

50

1







…………………………………6分

（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，所以获一等奖的人数估计为
（人）.

记这6人为
，其中
为该班获一等奖的同学. …………………7分

从全校所有一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加决赛共有15种情况如下：

，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
. ……………………………9分

该班同学参加决赛的人数恰好为1人共有8种情况如下:

，
，
，
，
，
，
，
.

所以该班同学参加决赛的人数恰好为1人的概率为
.……………………………12分

19. （Ⅰ）证：连接
，交
于点

∵
平面
，
平面
,∴
……………………………2分



∵点
，
分别是
，
的中点，∴

又∵
，

∴
≌
，∴

又∵
,∴

∴
，即

………………………………………5分

又∵
,∴
平面
,

又∵
平面
,∴
………………………………………6分

（Ⅱ）解：∵
平面
，∴
是三棱锥
的高，且

∵点
，
分别是
，
的中点，∴
……………7分

∴

………………………………………10分

∴

………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）
．

令
得
………………………………………1分

（i）当
，即
时，
，
在
单调递增

………………………………………3分

（ii）当
，即
时，

当
，或
时
，
在
、