2013-2014学年高三年级第一次月考

数学试题

注意事项

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写好自己的准考证号、姓名等相关信息.

2．选择题的答案选出后，把答案填在答题卡的相应位置，不能答在试题卷上.

3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

第Ⅰ卷sj.fjjy.org

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．

1.已知集合
，
,则
(　　)

A.[2,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞) C.(1,+∞) D.[1,3)∪(3,+∞)

2.已知命题
：函数
在
内恰有一个零点；命题
:函数
在
上是减函数.若
且
为真命题,则实数
的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.
或

3.已知
，则
的值为( )

A.
B.
C.
D.

4.已知函数
，下面四个结论中正确的是( )

A.函数
的最小正周期为

B.函数
的图象关于直线
对称

C.函数
的图象是由
的图象向左平移
个单位得到

D.函数
是奇函数

5.若函数
是偶函数，则
( )

A.0 B.1 C.-1 D.1或-1

6.如图所示为函数
的部分图象,其中
、
两点之间的距离为5，那么
(　　)

A.
B.
C.
D.

7.曲线
与直线
及
所围成的封闭图形的面积为(　　)

A.
B.
C.
D.

8.设函数
的图象在点
处切线的斜率为
，则函数
的部分图象为( )

9.函数
，若函数
在
上有3个零点，则
的取值范围为(　　)

A. [1,8] B.(-24,1] C. [1,8) D.(-24,8)

10.已知
且
，
，当
时，均有
，则实数
的取值范围是(　　)

A．(0，]∪[2，＋∞) B．[，1)∪(1,4] C．[，1)∪(1,2] D．(0，)∪[4，＋∞)

11.设方程
的两根为
,
，则以下关系正确的是( )

A.
B.
C.
D.

12.函数
对于
，总有
成立，则

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.下列选项叙述错误的是_________.

①命题“若
,则
”的逆否命题是“若
，则
”；

②若命题
：
,
,则
：
,
；

③若
为真命题，则
,
均为真命题；

④“
”是“
”的充分不必要条件.

14. 若曲线
与直线
没有公共点，则
的取值范围是________．

15.已知偶函数
在区间
上单调递增,且满足
，给出下列判断:①
；②
在
上是减函数；③
的图象关于直线
对称；④
在
处取得最大值；⑤
没有最小值.

其中正确判断的序号是　　　　.

16.将边长为1 米的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则
的最小值是________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）已知函数

（1）求函数
的最小正周期和最大值；sj.fjjy.org

（2）求函数
在
上的单调递减区间.

18. （本题满分12分）在
中，角
所对的边长分别为
，已知
.

（1）若
，求实数
值；

（2）若
，求
面积的最大值．

19. （本题满分12分）已知函数
，
，
,(
为自然对数的底数).

(1)讨论函数
的极值；

(2) 定义：若
，使得
成立，则称
为函数
的一个不动点.

设
.当
时，讨论函数
是否存在不动点，若存在求出
的范围，sj.fjjy.org

若不存在说明理由.

20. （本题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
,
,点
是
的中点,
且交
于点
.

求证：平面
平面
；

(2)求二面角
的余弦值.

sj.fjjy.org

21. （本题满分12分）已知椭圆
的一个焦点是
，且离心率为
.

(1)求椭圆
的方程；

(2)设经过点
的直线交椭圆
于
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，求
的取值范围．

22. （本题满分12分）已知函数
满足
，当
时，
，
时
的最大值为
.

（1）求
时，函数
的解析式；

（2）是否存在实数
使得不等式
对于
时恒成立，若存在，求出实数
的取值集合;若不存在，说明理由．

高三年级第一次月考数学答案

一、选择题. BCDDD CCBCC BD

二、填空题.13. ③ 14.
15. ①②④ 16.

17.【答案】（1）

------------------4分

函数
的最小正周期为
， -------------------5分

函数
的最大值为
-------------------6分

（2）由
得

函数
的单调递减区间
-------------------8分

又
，则
在
上的单调递减区间为
，
.------10分

18. （1）
即：

解得
又
-------------------3分

由余弦定理，知
又
，可得
-----6分

（2）由余弦定理及
可得
-------------------8分

再由基本不等式
-------------------10分

故
面积的最大值为
-------------------12分

19.【答案】 【答案】 (1)

①当
时，
，
在
上为增函数，无极值；

②当
时，
>0恒成立，
在
上为增函数，无极值；

③当
时,
=0,得
，列表如下：

X













0

_





增

极大值

减



当
时，
有极大值=

综上，当
时无极值，当
时，
有极大值=
. ———10分

（2）假设存在不动点，则方程
有解，即
有解.设

，（
）

由（1）可知


，下面判断
是否大于0，

设
，（a>0）,
,列表如下：

A



e









0

—



P(a)

增

极大值

减



当
时，
=
,所以
恒成立，

即
极大值小于零，所以
无不动点.

20. 解析：（1）证明：
底面
,底面
是正方形

平面
,
………………………………..2分

又
,
是
的中点,
,
平面

……..2分

由已知
，
平面
.

又
平面
,
平面
平面
………………………..6分

取
的中点
，则
.作
于
，连结
.

底面
,
底面

,

为二面角
的平面角……………………………..9分

设
在
中
,
，

所以二面角
的余弦值为
…………………12分.

解法2： （1）如图，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，由于
，可设
，则

,
…………2分

,

,
…………….4分

又
且

平面
.又
平面

所以，平面

平面
……………………………-6分

（2）
底面

是平面
的一个法向量，
………………….7分

设平面
的一个法向量为

,
,

则
得
……………………………..10分
……………………………….11分

二面角
的余弦值是
…………………………………………12分.

21. (1)设椭圆
的半焦距是
依题意，得

因为椭圆
的离心率为
，所以
故椭圆
的方程为
…………4分

(2)当
轴时，显然
当
与
轴不垂直时，可设直线
的方程为

由消去
并整理得
………………6分

设
线段
的中点为
则

所以

线段
的垂直平分线的方程为

在上述方程中，令x＝0，得
…………………………9分

当
时，
当
时，
所以
或

综上，
的取值范围是
………………………………12分

22. (1)由已知得：
因为
时，

设
时，
所以

时，
.-------------3分

时，
为增函数，
时，
为减函数，

当
时，
--------------------------6分

（2）由（1）得：
时，不等式
恒成立， 即为
恒成立，sj.fjjy.org

当
时，
，令

则
.

令
则当
时，

故此时只需
即可；-------------------------9分

②
时，
，令
.

则

令
则当
时，

故此时只需
即可，

综上所述：因此满足条件的
的取值集合为：
.-----------------------12分