本试题分第Ⅰ卷
（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部
分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

设
, 那么“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

设数列
的前n项和
，则
的值为

( )

A． 15 B． 16 C． 49 D．64

设
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）

A．若
,
,
,则
B．若
,
,
,则

C．若
,
,
,则
D．若
,
,
,则

下列命题中正确的是（ ）

A.
的最小值是2 B.
的最小值是2

C.
的最大值是

D.
的最小值是

经过圆
的圆心
，且与直线
垂直的直线方程是（ ） A．
B．
C．
D．

已知
,则
的大小为 ( )

A.
B.
C.
D.

设函
，则满足
的
的取值范围是 ( )

A．
，2] B．[0，2] C．
D．

奇函数
在
上为减函数，且
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D． （3，
）

10.
设函数
(
,
为自然对数的底数).若存在
使
成立,则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

11． 函数
的定义域为___________

12．若命题“
”是真命题，则实数
的取值范围为 .

13．经过原点且与函数
（
为自然对数的底数）的图
象相切的直线方程为

14.定义“正对数”:
,现有四个命题:①若
,则
;②若
,则
③若
,则
④若
,则
[来源:学科网ZXXK]

其中的真命题有____________ (写出所有真命题的序号)

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15．（本小题满分12分）已知集合
，
.

（Ⅰ）求集合
和集合
；[来源:学科网ZXXK]

（Ⅱ）若
，求
的取值范围。

16． （本小题满分14分）如图，四棱锥
的底面
是边长为2的菱形，
.已知
.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若
为
的中点，求三菱锥
的体积.

[来源:Zxxk.Com]

17. （本小题满分14分）已知函数
在
、
处分别取得极大值和极小值，记点

.

⑴求
的值；

⑵证明：线段
与曲线
存在异于
、
的公共点；

18．（本小题满分14分）

已知直线l：
(m

R)和椭圆C：
, 椭圆C的离心率为
，连接
椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2
.

⑴求椭圆C的方程；

⑵直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数
的取值范围；

⑶当
时，设直线l与y轴的交
点为P，M为椭圆C上的动点，求线段PM长度的最大值。

19. （本小题满分14分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：

（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；

（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.

20．（本小题满分14分）

已知函数

（1）试讨论函数
的单调性；

（2）若函数
在
是单调减函数，求实数
的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当
时，证明：

（其中（e≈2.718……即自然对数的底数）

汕头市金山中学2013-2014学年度第一学期期中考试[来源:学科网]

高三文科数学 参考答案

16．（1）证明：连接
交于
点 1分

2分

又

是菱形
3分

而
4分
⊥面
5分

所以直线
的方程为
（10分）

由
得
w.w.w.zxxk.c.o.m
（11分）

令
，易得
，（13分）

解得

（13分）

所以
线段
与曲线
有异于
的公共点
w.w.w.zxxk.c.o.m
。 （14分）

所以
， 可化为

解得
． --------8分

⑶由l：
,设x=0, 则y=2, 所以P(0, 2). --------9分

设M(x, y)满足
,

则|PM|2 =x2 +(y –2)2 =2–2y2 +(y – 2 )2 = –y2 –4y +6[来源:Zxxk.Com]

= –(y +2)2 +10，

因为 –1
y
1, 所以
--------11分

当y=-1时，|MP|取最大值3 --------14分

19. 解：（1）据题意的

20．

解:(1)
定义域为
...................................................................1分

.......................................................................2分

当
时,

递增,

当
时,

递减,......................................................3分

的单调增区间为

的单调减区间为
................4分

[来源:学&科&网Z&X&X&K]