2013年佛山一中高三理科10月段考试卷

一、选择题: (本大共8小题 ,每小题5分，满分40分）

1．已知集合
则有 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题p：在△ABC中，“
”是“
”的充分不必要条件；命题q：“
”是“
”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是(　　)

A．p真q假 B．p假q真 C．“
”为假 D．“
”为真

3．已知向量
,
，若向量
与
垂直，则
的值为( )

A．
B．7 C．
D．

4．数
的定义域为 ( )

A．
B．
C．
D．

5．函数
，给出下列四个命题，其中命题正确的有：（ ）

①函数
在区间
上是减函数；②直线
是函数
的图象的一条对称轴；③函数
的图象可以由函数
的图象向左平移
而得到。

A．①③ B．①② C．②③ D．①②③

6．化简三角式
（ ）

A .
B .1 C .2 D .

7．在平行四边形
中，
，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
在点（1,2）处的切线与
的图像有三个公共点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本大共6小题 ,每小题5分，满分30分）

9．已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为____________

10．已知函数
是定义在
上的奇函数，在
上单调递减，且

，则方程
的根的个数为_________

11.已知
，
，

则

12．已知
的值是__________

13.计算
的值为________________.

14.在四边形ABCD中，
，
在
方向上的投影为8,求
的正弦值为________

三、解答题(本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15. （本小题满分12分）已知向量
=（2，2），向量
与向量
的夹角为
，且
·
=－2，

（1）求向量
；

（2）若
，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|
+
|的取值范围.

16．（本小题满分12分）某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．

(1)求该公司决定对该项目投资的概率；

(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．

17．（本小题满分14分）已知函数
.

（1）求函数
的定义域；

（2）若
，求
的值.

（3）在（2）条件下，若(是第四象限角，求cos((-2()+cos(2(-
)的值。

18. （本小题满分14分）三棱锥
,底面
为边长为
的正三角形,平面
平面
,
,
为
上一点,
,
为底面三角形中心.

(Ⅰ)求证
∥面
;

(Ⅱ)求证:
;

(Ⅲ)设
为
中点,求二面角
的余弦值. 

19．（本小题满分14分）对于函数
（
，
为函数的定义域），若同时满足下列条件：①
在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间
，使
在
上的值域是
．那么把

称为闭函数．

（１）求闭函数
符合条件②的区间
；

（２）判断函数

是否为闭函数？并说明理由．

（３）若
是闭函数，求实数k的取值范围．

20． （本小题满分14分）设函数
．

（I）试讨论函数
在区间[0，1]上的单调性;

（II）求最小的实数
，使得对任意
及任意实数
，
恒成立．

佛山一中2013学年度上学期高三级10月段考

数学（理科）答卷

一．选择题：把正确答案的选项符号填涂在答题卡上。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上

9.___________________; 10.__________________; 11.__________________

——

12.__________________; 13．_________________; 14.__________________

15.（本题满分12分）

16. （本题满分12分）

17（本题满分14分）

18.（本题满分14分）

19.（本题满分14分）

20.（本题满分14分）

佛山一中2013学年度上学期高三级10月段考（答案）

一、选择题：BCAB BBBD

二、填空题：9.
10.2 11.
12.
13.
14.

14

，

，在
中，
，
，

，
，
，

在
方向上的投影为8，

，


，

，

三、解答题：

15. 解：（1）设
=（x,y），则
·
=
..2分

∴解得
……………………4分

（2）
.

∴
……………………7分

∴

=1+
…10分

∴
∴
……………………12分

16.（12分）

解析　(1)该公司决定对该项目投资的概率为P＝C2＋C3＝…………4分

(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：

“同意”票张数

“中立”票张数

“反对”票张数



事件A

0

0

3



事件B

1

0

2



事件C

1

1

1



事件D

0

1

2



。。。6分

P(A)＝C3＝，P(B)＝C3＝，P(C)＝CC3＝， P(D)＝C3＝. 。。。。10分

∵A、B、C、D互斥，

∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝. 。。。。。。。。12分

17.（14分）解：（1）由
得

所以函数
的定义域为
。。。。。。2分

（2）
=

。。。。。。。。。。6分

因为
，所以
。。。。。。8分

（3）
(是第四象限角，
。。。。。。9分

，
。。。。11分

cos((-2()+cos(2(-
)=
。。。。。。14分

18（14分）证明:(Ⅰ)连结
交
于点
,连结
. 。。。1分

为正三角形
的中心,∴
,

且
为
中点.又
,

∴
∥
, 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

平面
,
平面

∴
∥面
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)
,且
为
中点, ∴
,

又平面
平面
,

∴
平面
, 。。。。。。。。。。。5分

由(Ⅰ)知,
∥
,

∴
平面
,

∴
。。。。。。。。。。。。6分

连结
,则
,又
,

∴
平面
,∴
。。。。。。。。。。8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,
两两互相垂直,且
为
中点,所以分别以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,如图,则

∴
。。。。。。。。。。。。。。10分

设平面
的法向量为
,则
,

令
,则
。。。。。。。。。。。。。。。。11分

由(Ⅱ)知
平面
,∴
为平面
的法向量,∴
, 。。。。。。。。。。。13分

由图可知,二面角
的余弦值为
.。。。。。14分

19、（1）由
在
上为减函数，得
，

可得
，
，
所求区间是
． 。。。。。。3分

（2）


。。。5分

可见在
时，
和
都不恒成立，。。。。。。。6分

可得
在
不是增函数也不是减函数，所以
不是闭函数．。。。。。。。。7分

（3）

在定义域
上递增 。。。。。。。。。。。。8分

设函数符合条件②的区间为
，则

，故
，
是方程
的两个实根，。。。。9分

（方法一）命题等价于
有两个不等实根．.。。。。10分

当
时，
解得
，

；。。。12分

当
时，
这时，
无解． 。。。。。13分

所以k的取值范围是
． 。。。。。。。。。14分

（方法二）

命题等价于
的图像与
的图像有两个公共点。。（10分）

当
与
图像相切时，

令
得
,代入
得
，即切点为

此时
。。。。。。。。。。12分

当
过点
时
。。。。13分

由图可知
，所以k的取值范围是
。。14分

20.

解：（1）∵函数
，∴f′（x）=3x2﹣t．。。。1分

1°若t≤0，则f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；。。。。。2分

2°若t≥3时，∵3x2≤3，∴f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；。3分

3°若0＜t＜3，则
，令f′（x）=0，解得
，

当
时，f′（x）＜0，∴f（x）在
上单调递减；

当
时，f′（x）＞0，∴f（x）在
上单调递增．。。。。。6分

（2）
?
，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，
的最小值即可．。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

【方法一】：令g（x）=f（x）+
，x∈[0，1]，

而g′（x）=f′（x），由（1）的结论可知：

当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，

故g（x）min=min{g（0），g（1）}=min{
，
}=0．

当0＜t＜3时，则
=﹣
．

∴h（t）=
．。。。。。。。。。。10分

下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．

当t∈（0，1）时，h（t）=
在（0，1）上单调递减；

当1＜t＜3时，h（t）=
，
＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．

又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=﹣
．。。12分

综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，
的最小值为
，即得h的最小值为﹣m=
． 。。。。。。。。。。。。14分

【方法二】：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），

g（t）=f（x）+
=﹣xt+
+x3=
的最小值．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

由于﹣x≤0，当t∈（﹣∞，1）时，g′（t）≤0；由于1﹣x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g′（t）≥0．

考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x3﹣x．.。。。。10分

下面再求关于x的函数h（x）=x3﹣x在x∈[0，1]时的最小值．

h′（x）=3x2﹣1，令h′（x）=0，解得
．

当
时，h′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当
时，h′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．

故h（x）的最小值为
．。。。。。。。。。。12分

综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.
的最小值m=﹣
，即得h的最小值为﹣m=
．。。。。。。。。。。。。。。。14分