2013—2014学年度上学期三调考试

高三年级数学试卷（文）

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．设全集U=R+，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|lgx≥0}，则“x∈A”是“x∈?UB”的（　　）

A. 充分不必要条件 　　 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 　　 　D. 即不充分也不必要条件

2. 已知命题
，命题
，则( 　 )

A.命题
是假命题 　　 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 　　　D.命题
是假命题

3.在等差数列
中，首项
公差
，若
，则
的值为（ ）

A．37 B．36 C．20 D．19

4. 已知
，则下列结论不正确的是( )

A．a2|a+b|

5. 已知a是函数
的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（　　）

A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0 C．f（x0）＜0 D．f（x0）的符号不确定

6. 已知f（x）=x2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y轴对称，则2sinθcosθ+cos2θ的值为（　　）

A．
B．2 C．
D．1

7. 设
是公差不为0的等差数列
的前n项和，且
成等比数列，则
的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

8. 已知正数x,y满足
，则
的最小值为( )

A．1 B．
C．
D．

9.
中，若
且
，则
的形状是( )

A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形

10. 函数
的单调递增区间（ ）

A.

B.

C.

D.

11. 设动直线
与函数
的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为( )

A．
　　 B．
　 C．　
　　 　 D．

12. 定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（﹣2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知

y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则
的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13. 已知向量
满足
，则
___________.

14. 已知
，则
的最小值是 .

15.若不等式
对一切非零实数
恒成立，则实数
的取值范围是 .

16.函数
的图象与函数
的图象的公共点个数是 个.

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17.（本小题满分12分）已知数列
的前
项和
，(Ⅰ)求
的通项公式；(Ⅱ) 令
，求数列
的前
项和
．

18.（本小题满分12分）已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、
所对的边分别是
、
、
．

（Ⅰ）若
、
、
依次成等差数列，且公差为2．求
的值；

（Ⅱ）若
，
，试用
表示
的周长，并求周长的最大值．

19. （本小题满分12分）已知函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数，

（1）实数m的取值集合为A，当m取值集合A中的最小值时，定义数列{an}；满足a1=3，且
＞0，
，求数列{an}的通项公式；

（2）若
，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
．

20. （本小题满分12分）已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).

(I)当a=1时,求过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(II)若f(x)
x2在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数
.

（1）求函数
的最大值；

（2）若函数
与
有相同极值点，

①求实数
的值；

②若对于
（
为自然对数的底数），不等式
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在22，23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22. （本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．

(1) 求证：
；

(2) 若
，试求
的大小．

23. （本小题满分10分）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．

（1）求不等式f（x）＞2的解集；

（2）若?x∈R，
恒成立，求实数t的取值范围．

2013—2014学年度上学期三调考试

高三年级数学试卷（文）（参考答案）

1—5 B C A D C 6—10 D C C C B 11-12 A A

13. -1 14. 4 15.
16. 2个

17. 解：(Ⅰ) 由
???????????①可得：

．同时?
??????????②②-①可得：

．——4分从而
为等比数列，首项
，公比为
．

． ————————6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
，
————8分故
．——12分18. 解（Ⅰ）

、
、
成等差，且公差为2，

、
. 又

，
，

，

，

恒等变形得
，解得
或
.又

，

. …………6分

（Ⅱ）在
中，
，………………8分

，
，
.

的周长

，………10分

又

，

,

当
即
时，
取得最大值
． ……………………12分

19. 解：（1）由题意得f′（x）=﹣3x2+m，

∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数，

∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，

即m≥3x2，得m≥3，

故所求的集合A为[3，+∞）；

所以m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3，

∵
，an＞0，

∴
，即
=3，

∴数列{an}是以3为首项和公比的等比数列，

故an=3n；

（2）由（1）得，bn=nan=n?3n，

∴Sn=1?3+2?32+3?33+…+n?3n ①

3Sn=1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1 ②

①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=
﹣n?3n+1

化简得，Sn=
．

20. 解：（1）当a=1时，f(x)=ex+x-1，f(1)=e，
=ex+1,
=e+1,

函数f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1),即y=(e+1)x-1……………2分

设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B.

所以A
，B（0，-1），

所以

所以过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
.……………4分

（2）由f(x)
x2得

令h(x)=
，
，

令
……………6分

……8分

因为x-1<0,x2>0,所以
，
……10分

所以h(x)

21. （1）
， （1分）

由
得