2013—2014学年度高三上学期三调考试

高三年级数学试卷（理）

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.设集合M={x|x2≤4），N={x|log2 x≥1}，则M∩N等于（　　）

A．

[﹣2，2]

B．

{2}

C．

[2，+∞）

D．

[﹣2，+∞）



2.若
、
，则
是
的 ( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

3.平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B（0,1），点C在第二象限内，
，且|OC|=2，若
，则
，
的值是（ ）

A．
，1 B． 1，
C．-1，
D．
，1

4.设
是公差不为0的等差数列
的前n项和，且
成等比数列，则
的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5.如图，圆O的两条弦AB和CD交于点E，EF//CB,EF交AD的

延长线于点F，FG切圆O于点G，EF=2，则FG的长为（ ）

A.
B.
C.1 D. 2

6. 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）

A.
B.

C.
D.

7.已知
、
是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面,给出下列命题:

①若
,则
;②若
,且
则
;

③若

,则
;④若
,
,且
,则
.

其中正确命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8.已知
为互不相等的正数，
，则下列关系中可能成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9.已知各项均为正数的等比数列
满足
,若存在两项

使得
的最小值为 （　　）

A．
B．
C．
D．9

10.已知
关于
的一元二次不等式
的解集中有且仅有3个整数，

则所有符合条件的
值之和是（ ）

A.13 B.18 C.21 D.26

11.若函数
，

（其中
且
），则下列选项中一定是方程
的根的是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 设定义域为
的函数
若关于
的方程
有7个不同的实数解，则
= （ ）

A．2 B．4或6 C．2或6 D．6

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）

13、若
,且

,则
.

14.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若
，则
=

15.已知函数
若
使得
，则实数
的取值范围是 .

16.设关于x,y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足

x0－2y0=2，则m的取值范围是

三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）

17. （本小题满分12分）在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
为
的中点，
与
交于点
，
侧面
．

（Ⅰ）证明：
;

（Ⅱ）若
，求三棱锥
的体积．

18. （本小题满分12分）已知函数
在（0，1）上是增函数，

（Ⅰ）实数m的取值集合为A，当m取集合A中的最小值时，定义数列
满足

且

，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若
,数列
的前n项和为
，求证：
.

19.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产
千件，需另投入成本为
，当年产量不足80千件时，
（万元）.当年产量不小于80千件时，
（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量
（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

20．（本小题满分12分）已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、
所对的边分别是
、
、
．

（Ⅰ）若
、
、
依次成等差数列，且公差为2．求
的值；

（Ⅱ）若
，
，试用
表示
的周长，

并求周长的最大值．

21. （本小题满分12分）已知函数
．

（I）讨论
的单调性；

（II）若
恒成立，证明：当
时，
．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22. (本小题满分10分)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，

D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T

（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．

（I）求证：
；

（II） 若
，试求
的大小．

23.(本小题满分10分) 已知函数
．

（I）解不等式:
；

（II）若
，求证：
≤
.

高三年级三调考试数学试卷（理）参考答案

选择题 BBDC DBBC ACAA

填空题 13、1 14、
15、
16、

三、解答题

17. （1）根据题意，由于在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，
为
的中点，
与
交于点
，
侧面
，那么在底面
Z中，利用相似三角形可知，
,
,进而得到
,则可知
;……………………6分

（2）如果
，那么利用
，
为
的中点，勾股定理可知
,根据柱体的高，以及底面积可知三棱柱
的体积为
……………………12分

18. 解：（1）由题意得f′（x）=﹣3x2+m，

∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，

即m≥3x2，得m≥3，-----------------------------2分

故所求的集合A为[3，+∞）；所以m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3，

∵
，an＞0，∴
=3an，即
=3，

∴数列{an}是以3为首项和公比的等比数列，故an=3n； -------------------------------6分

（2）由（1）得，bn=nan=n?3n，

∴Sn=1?3+2?32+3?33+…+n?3n ①

3Sn=1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1 ②

①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=
﹣n?3n+1

化简得，Sn=
＞
．----------------------------12分

10分

为1000万元. --------------------12分

20． 解（Ⅰ）

、
、
成等差，且公差为2，

、
. 又

，
，

，

，

恒等变形得
，解得
或
.又

，

. …………6分

（Ⅱ）在
中，
，

，
，
.

的周长

，………10分

又

，

,

当
即
时，
取得最大值
． ……………………12分

21. 解：（Ⅰ）f((x)＝，x＞0．

若a≤0，f((x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增；

若a＞0，当x∈(0，)时，f((x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(，＋∞)时，f((x)＜0，f(x)单调递减． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上递增，

又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．

若a＞2，当x∈(，1)时，f(x)递减，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．

若0＜a＜2，当x∈(1，)时，f(x)递增，f(x)＞f(1)＝0，不合题意．

若a＝2，f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，

f(x)≤f(1)＝0，合题意．

故a＝2，且lnx≤x－1（当且仅当x＝1时取“＝”）． …8分

当0＜x1＜x2时，f(x2)－f(x1)＝2ln－2(x2－x1)＋2

＜2(－1)－2(x2－x1)＋2

＝2(－1)(x2－x1)，

所以＜2(－1)． …12分

22. （1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定

理
，
，得

，设半径OB=
，因BD=OB，且BC=OC=
，

则
，
，

所以
------------------5分

（2）由（1）可知，
，且
，

故
∽
，所以
；

根据圆周角定理得，
，则
--------10分

23.解: （1）由题


.

因此只须解不等式
. …………………………………………2分

当
时，原不式等价于
，即
.

当
时，原不式等价于
，即
.

当
时，原不式等价于
，即
.

综上,原不等式的解集为
. …………………………………………5分

（2）由题

.

当
＞0时，

. …………………………10分