高三阶段性复习诊断考试

数学试题参考答案及评分说明 2014.5

第Ⅰ卷（选择题　共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．A

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．

12．

13．

14．（文科）
14．（理科）

15．①②④

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（文科 本题满分12分）

解：（Ⅰ）
=

=

因为
，所以
…………………………………4分

……………………6分

（Ⅱ）因为

由正弦定理得
……………………7分

所以

所以

因为
，所以
，且

所以
……………………8分

所以
……………………9分

所以
……………………10分

又因为
=

所以

……………………11分

故函数
的取值范围是
……………………12分

16．（理科 本题满分12分）

解：（Ⅰ）
=

=

因为
，所以
……………………………………4分

……………………6分

（Ⅱ）因为

由正弦定理得
……………………7分

所以

所以

因为
，所以
，且

所以
……………………8分

所以
，因为
为锐角三角形

所以
且
，即

所以
且
，所以
……………………9分

所以
…………………10分

又因为
=

，所以

……11分

故函数
的取值范围是
. ……………………12分

17．（文科 本题满分12分）

证明：（Ⅰ）取
的中点，连接
,
.

因为
,分别是
,
的中点，

所以
∥
,
………2分

又因为
∥
,

所以
∥
且

所以 四边形
为平行四边形，

所以
∥
．………………………………………………………………4分

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
． ………………………………………………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,连结
，
.

由题意知

，又因为 平面
平面
，

所以
平面
． …………………………………………8分

因为
平面
所以

因为 四边形
为菱形，所以

又因为
∥
, 所以

所以
平面
， 又
平面
…………………………10分

所以
． ……………………………………………12分

17．（理科 本题满分12分）

解证：（Ⅰ）证明：方法一

取
的中点
,连结
，
,由题意知

．

又因为平面
平面
， 所以
平面
．………………2分

因为
平面
所以

因为 四边形
为菱形，所以

又因为
∥
, 所以

所以
平面
………………4分

又
平面
， 所以
．…6分

方法二

取
的中点
,连结
，
, 由题意知
，
.

又因为 平面
平面
，所以
平面

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. ……………………2分

则
,
,
，
,
，

.
……………………4分

因为
，所以
……………………6分

（Ⅱ）取
的中点
,连结
，
, 由题意知
，
.

又因为 平面
平面
，所以
平面

以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
. ……………………7分

则
,
,
，
,
,

.

设平面
的法向量为
，则
即

令
.所以
. …………………………………………9分

又平面
的法向量
…………………………………10分

设二面角
的平面角为
，则
.……………12分

18．（文科 本题满分12分）

解: (Ⅰ) 用
(表示第一次取到球的编号,
表示第二次取到球的编号)

表示先后两次取球构成的基本事件, ………………………………1分

则基本事件有:

共
个. ……………………………………3分

设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被
整除”为事件,

则事件包含的基本事件有:
共有
个, …………5分

所以
…………………………6分

(Ⅱ) 基本事件有:

共
个. ……………8分

设“直线
与圆
有公共点”为事件

由题意知
， 即
……………………………10分

则事件包含的基本事件有:
共有
个,所以
…………………………………12分

18．（理科 本题满分12分）

解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件,则由题意知，事件与事件互为对立事件………………2分

因为
…………………………………………4分

所以
……………………………………5分

（Ⅱ）
的取值为
, ……………………………6分

………………………………………7分

……………………………………8分

……………………………………9分

………………………………10分

的分布列为：

























………………………11分

………………………12分

19．(文科　本题满分12分)

解：（Ⅰ）由题设可得，

同理

所以
， …………………2分

从而，有
，所以，
； ……………………3分

（Ⅱ）由题设知，
， ……………………4分

所以，

… …

……………………6分

将上述各式两边分别取和，得

所以，
． ……………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），可得
，……………………9分

所以，
……………………10分

所以

．……12分

19．(理科　本题满分12分)

解：（Ⅰ）由题设可得，

同理
所以
， …………………2分

从而，有
，所以，
； ……………………3分

（Ⅱ）由题设知，
， ……………………4分

所以，

… …

……………………6分

将上述各式两边分别取和，得：

，所以
．…………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ），可得
，所以
………8分

1°当为偶数时，

，………………10分

2°当为奇数时，若
，则
.

若
,则

．

综上可得
……………………12分

(方式二）由（Ⅱ），可得
，

不妨记
……………………8分

1°当为偶数时，令
，

，即
．……………………10分

2°当为奇数时，若
，则
.

若
，令
，

，

即
．

综上可得
……………………12分

20．（文科　本题