期末考前模拟试题 （查缺补漏）

一、选择题：

1. 若集合
，则集合
不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若函数
的图像与
轴交于点
，过点
的直线
与函数的图像交于
，
两点，则(
＋
)·
＝

16


32

3. 在等差数列
中，已知
，则数列
的前
项和

A.
B.
C.
D.

4. 下列结论正确的是( )

A.若向量
，则存在唯一的实数
使得

B.已知向量
为非零向量，则“
的夹角为钝角”的充要条件是“
＜0”

C.命题：若
，则
或
的逆否命题为：若
且
，则

D. 若命题
，则
；

5．设直线
与圆
相交于点

,
两点，
为坐标原点，且
，则实数
的值为（ ）

A.-4 B.-3 C.-2 D. -1

6. 长方体
的底面是边长为
的正方形，若在侧棱

上至少存在一点
,使得
,则侧棱
的长的最小值为

A.
B.
C.
D.

7. 已知椭圆
的焦点为
、
，在长轴
上任取一点
，过
作垂直于
的直线交椭圆于
，则使得
的
点的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数

的图象恒过定点
，若点
在直线
上，其中
，则
的最小值为( )

A．
B．4 C．
D．

9. 现有四个函数：①
②
③
④
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

第9题图

A. ④①②③ B. ①④③② C. ①④②③ D. ③④②①

10. 抛物线
（
＞
）的焦点为
，已知点
、
为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大值为 ( )

A.
B. 1 C.
D. 2

二、填空题

11. 已知
（
为自然对数的底数），函数
，则
__________.

12. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，

则此几何体的体积为
.

13. 已知
分别是圆锥曲线
和
的离心率，设

，则
的取值范围是 ．

14. 已知函数
若三个正实数
互不相等，且满足

，则
的取值范围是　　　

15.数列
的通项公式为
，其前
项和为
，则
________．

三、解答题

16.已知函数

．

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

（Ⅱ）若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的值.

17. 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，淄博五中举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为
）进行统计.按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（1）求样本容量
和频率分布直方图中的
、
的值；

（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量
表示所抽取的3名学生中得分在
内的学生人数，求随机变量
的分布列及数学期望．

18. （本小题满分12分）在等差数列
中，
.

（1）求数列
的通项公式；（2）若数列
满足
（
），则是否存在这样的实数
使得
为等比数列；（3）数列
满足
为数列
的前n项和，求
.

19. 如图，在三棱柱
中，已知
，

，
，
.

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）设
(
)，且平面
与
所成的锐二面角的大小为
，试求
的值.

20. 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|. (1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．

21．已知函数
．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间； (Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的
，函数
（其中
是
的导函数)在区间
上总不是单调函数，求
的取值范围；

(Ⅲ)求证：不等式
对
恒成立.

期末考前模拟试题参考答案：

一、选择题

题号























答案

C





C

C



C

D



A



二、填空题11. 7 12. 20 13. （-∞，0） 14.

15.-50

三、解答题

16解：（Ⅰ）

所以
，所以
，可得

函数
在
上的值域为
； ……7分

（Ⅱ）对于任意的
，不等式
恒成立，所以
是函数
的

最大值，可得
,可得
，

所以
,
. …12分

17. 解：（1）由题意可知，样本容量
，
，

.…………4分

（2）由题意可知，分数在
内的学生有5人，分数在
内的学生有2人，共7人.抽取的3名学生中得分在
的人数
的可能取值为1，2，3，则

，
，
.

1

2

3













所以
的分布列为

所以
.……………………………12分

18. 解：（1）因为
是一个等差数列，所以
.

设数列
的公差为
，则
，故
；故
.……6分

（2）
.

假设存在这样的
使得
为等比数列，则
，即
，

整理可得
. 即存在
使得
为等比数列.……7分（

3）∵
，

∴
……9分

. ……12分

19. 解：（Ⅰ）因为侧面
,

侧面
，故
,在
中,

由余弦定理得：

，

所以
， 故
,所以
,而

，
平面

（2）由（Ⅰ）可知，
两两垂直.以
为原点，
所在直线为

轴建立空间直角坐标系.

则
.

所以
,所以
,

则
，
. 设平面
的法向量为
，

则
,
，

令
，则
，
是平面
的一个法

向量.

平面
,
是平面
的一个法向量，

.

两边平方并化简得
，所以
或
（舍去）

20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.

又b2＝a2－c2，则＝. 所以，椭圆的离心率e＝.

(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.

设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．

由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

因为点P在椭圆上，故＋＝1.② 由①和②可得3x＋4cx0＝0.

而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为.

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，

所以圆的半径r＝＝c.

由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2，

解得c2＝3.所以，所求椭圆的方程为＋＝1.

21.解：（Ⅰ）当
时，
解
得
；

由
得

的单调增区间为
，减区间为
. ……4分

（Ⅱ） ∵
∴
得
，

，
，

∴

∵
在区间
上总不是单调函数，且
∴
…………7分

由题意知：对于任意的
，
恒成立，

所以，
，∴
. ………9分

（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知当
时
，即
，

∴
对一切
成立. …………………………………10分

∵
，则有
，∴
. ……………12分

. ………14分