2014—2015高三数学第一学期期末参考答案（文科）

选择题

1. B 2.A 3. C 4. D 5. D 6. B 7. D 8. C

二、填空题

9. [0，2] 10.
；11．90°

12. 3 13. 110 14. 　

三解答题

15. 解：

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为

方差为

……………………6分

（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），

（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），

（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），

（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），

用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为

……………………13分

16.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且
，

∴
，

∴
.

……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， 又∵
，∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴
.

∴△ABC的面积
.

……………………13分

17解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形
是等腰三角形,且底角等于30°,且
,所以;、
,又因为
;

……………………5分

(Ⅱ)设
,由(1)知
,连接
,所以
与面
所成的角是
,由已知及(1)知:
,
,

所以
与面
所成的角的正切值是
;

……………………9分

(Ⅲ)由已知得到:
,

因为
,在
中,
,设

……………………13分

18．解：（Ⅰ）由
得
，所以
．

由
得
，故
的单调递增区间是
，

由
得
，故
的单调递减区间是
．

……………………5分

（Ⅱ） 由
得
．

①当
时，
．

此时
在
上单调递增．

故
，符合题意．

②当
时，
．

当变化时
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
．

……………………13分

19. （I）证明：

是以

为首项，2为公比的等比数列。……………………4分

（II）解：由（I）得

……………………8分

（III）证明：

　　　　　　　　①

　　②

②－①，得

即
　　　　　③

　
　　　　④

④－③，得

即

是等差数列。

……………………14分

20．（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由已知左焦点
(-4,0)

由P
在椭圆上，得

由
，所以
………………………3分

证法二：设点P的坐标为
记

则

由
…………………………3分

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为

当
时，点（5，0）和点（－5，0）在轨迹上.

当|
时，由
，得
.

又
，所以T为线段F2Q的中点.

在△QF1F2中，
，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是
…………………………7分

解法二：设点T的坐标为
当
时，点（5，0）和点（－5，0）在轨迹上.

当|
时，由
，得
.

又
，所以T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（
），则

因此
①

由
得
②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是
……………………7分

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（
）使S=9的充要条件是

由④解得
<5,∴存在点M，使S=；

∵
，

由
，

，

，得
…………14分