2014—2015高三数学第一学期期末参考答案（理科）

选择题

1. B 2. A 3. C 4. A 5. B 6. D 7. A 8. B

二、填空题

9.

10. 90°；11．

12.
13.
14. 12

三解答题

15.（本题满分13分）

解：（Ⅰ）
=

=

=

故
的最小正周期为T =
=8

(Ⅱ)解法一：

在
的图象上任取一点
，它关于
的对称点
.

　　由题设条件，点
在
的图象上，从而

　　　　　　　　　 =

=

当
时，
，因此
在区间
上的最大值为

　　　

　　解法二：

因区间
关于x = 1的对称区间为
，且
与
的图象关于

　　x = 1对称，故
在
上的最大值为
在
上的最大值

　　由（Ⅰ）知
＝

当
时，

　　　因此
在
上的最大值为

　　　　　　　
.

16. 解：设
表示第
辆车在一年内发生此种事故，
．由题意知
，
，
独立，且
，
，
．

（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为

．

（Ⅱ）
的所有可能值为
，
，
，
．

，

，

，

．

综上知，
的分布列为























求
的期望有两种解法：

解法一：由
的分布列得

（元）．

解法二：设
表示第
辆车一年内的获赔金额，
，

则
有分布列















故
．

同理得
，
．

综上有
（元）．

……………………………………………………13分

17. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又 BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=
，

所以 当AH最短时，∠EHA最大，

即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时 tan∠EHA=

因此 AH=
.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以 PA=2.

由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（
，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（
，0，0），F（
），

①
,

∴
,

设异面直线PB与AD所成角为，∴

②

设平面AEF的一法向量为

则
因此

取

因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以 BD⊥平面AFC，

故
为平面AFC的一法向量.

又
=（-
），

所以 cos＜m,
＞=

因为 二面角E-AF-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为

18解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax.

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.

(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.

(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2=  .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x

(－∞, －)

(－,)

(,1)

(1,+∞)



f '(x)

＋

－

＋

＋



f(x)

↗

↘

↗

↗



f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.

(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1.

(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1,得

f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.

19. （I）解：

是以
为首项，2为公比的等比数列。

即　

（II）证法一：∵

∴

　　　　　　　　　　　　　①

　
　　　　　②

②－①，得

即

　 ③－④，得　

即　

是等差数列。

证法二：同证法一，得

　

令
得

设
下面用数学归纳法证明　

（1）当
时，等式成立。

（2）假设当
时，
那么

这就是说，当
时，等式也成立。

根据（1）和（2），可知
对任何
都成立。

是等差数列。

（III）证明：

20．（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为

由P
在椭圆上，得

由
，所以
………………………3分

证法二：设点P的坐标为
记

则

由

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为

当
时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|
时，由
，得
.

又
，所以T为线段F2Q的中点.

在△QF1F2中，
，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是
…………………………7分

解法二：设点T的坐标为
当
时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|
时，由
，得
.

又
，所以T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（
），则

因此
①

由
得
②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是
……………………7分

（Ⅲ）C上存在点M（
）使S=
的充要条件是

由③得
，由④得
所以，当
时，存在点M，使S=
；

当
时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当
时，
，

由
，

，

，得
14分