2014—2015学年度上学期期末考试高三年级

数学科（理科）参考答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

C

D

C

A

B

A

C

A

B





二．填空题

13. 10 14.
15.
16. 35

三．解答题

17、本小题满分12分

解（Ⅰ）

.

∴函数
的最大值为.

当且仅当
即
，即
时取到。

所以函数最大值为2时的取值集合为
. ……（6分）

（Ⅱ）由题意，
，化简得

，
， ∴
， ∴

在
中，根据余弦定理，得
.

由
，知
，即
.∴当
时，取等号。

又由b+c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2 ）。………………（12分）

18、本小题满分12分

解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差

所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。……（4分）

（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）

（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A;

事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B

则
……………………（8分）

（3）X的取值为0,1,2,3，

分布列为

X

0

1

2

3



P











 期望
……………………（12分）

19、本小题满分12分

证明：（1）底面平行四边形ABCD中，连接AC,BD，设

因为AB=AD,
，所以ACBD

又DD1平面ABCD，所以DD1AC，所以AC平面BDD1，

又因为四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1与BB1延长后交于一点，

所以
平面BDD1，所以ACBB1。即BB1AC 。…………（4分）

（2）因为四边形ABCD为平行四边形， 所以

由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1//DO，且D1B1=DO，

所以边四形D1B1OD为平行四边形， 所以DD1//B1O 。

因为DD1平面ABCD，所以B1O平面ABCD，即B1OAO, B1OBO

由（1）知ACBD于点O,即AOBO

以DB,AC,OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则

A(0，-
,0)，B（1，0,0），D(-1，0，0)，设B1（0,0，h），则D1（-1，0，h）；设A1(a,b,h) (h>0)

则
=(1，-
,0)，
=（a+1,b,0）， 因为
=

，

所以a=-
,b=
. 即A1(-
，
，h) 。

所以
，

设平面A1AB的一个法向量为
，

则
，即

取y=
,则x=-3,z=

即
，又已知平面ABC的一个法向量

由二面角A1-AB-C大小为60，可得

解得：h=
即棱台的高为

因为B1OAO, B1OBO，AOBO

所以三棱锥B1-ABO外接球的直径就是以OA,OB,OB1为三条棱的长方体的体对角线,长为
，所以外接球半径R=

所以外接球体积为
.………（12分）

20、本小题满分12分

解：（1）椭圆方程
……………………（2分）

（2）当直线L与x轴垂直时，B1(1，
),B2(1，-
),又F1(-1,0),

此时
，所以以B1B2为直径的圆不经过F1。不满足条件。

当直线L不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)

由

因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。

设B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,则

因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以
，又F1(-1，0)

所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0

所以解得

由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

因为直线L与抛物线有两个交点，所以

设A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，则

所以
…………(8分)

（3）存在定圆
,使得
与
恒相切，

其方程为：(x+1)2+y2=16,圆心是左焦点F1.

由椭圆的定义可知：

所以两圆相内切。 ……………………（12分）

21、本小题满分12分

解：（1）
,x [1，+）

显然a0时，
0，函数f(x)在[1，+）上是单调增函数，符合要求。

当a<0时，令g(x)=ax2+x-1, 当x
+时g(x) x
-时,

所以函数f(x)在[1，+）上只能是单调减函数。

所以
0或
， 解得

综上：满足条件的a的取值范围是
。…………（3分）

（2）不存在满足条件的正实数a。因为

由 （1）知，a>0时f(x)在[1，+）上是单调增函数，

所以f(x)在[1，2]上是单调增函数。

所以对于任意
，f(1) f(x1 ) f(2)，

即f（x1）
;

，当
时，
，

所以g(x)在[1,2]上是单调减函数。

所以当
时，

若对于任意
，总存在
，使得f(x1)=g(x2)成立，

则

，此时a无解。…………（7分）

（3）因为
，所以x1>0时，0

（当且仅当xn=1时取等号）

若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以
。

（两个等号不能同时成立）

所以

又
所以
xn+1>xn ,所以

又

所以

……………………（12分）

另解：因为
，所以x1>0时，0

（当且仅当xn=1时取等号）

若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以
。

又
所以
xn+1>xn ,所以

设xn=t，则t

设
，

则

所以函数h(t)在t
时是单调减函数，所以

即

所以

因为
所以

所以

22、本小题满分10分

解： 连接OD，BC，设BC交OD于点M.

因为OA=OD,所以OAD=ODA;又因为OAD=DAE,所以ODA=DAE

所以OD//AE；又 因为ACBC,且DEAC，所以BC//DE。

所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD

由
，设AC=3x，AB=5x,则OM=
，又OD=
,所以MD=
-
=x

所以AE=AC+CE=4x

因为OD//AE，所以
=
。

23、本小题满分10分

解：曲线C的直角坐标方程为y2=2ax (a>0)

将直线l的参数方程化为

代入曲线C的直角坐标方程得：
　 　

因为交于两点，所以
，即a>0或a<-4.

设交点M,N对应的参数分别为
.则

若
成等比数列,则

解得a=1或a=-4(舍)

所以满足条件的a=1. …………………… （10分）

24、本小题满分10分

解：（1）由题设知：
，

不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或
，或

解得函数
的定义域为
；…………（5分）

（2）不等式
即
，

时，恒有
，

不等式
解集是R，

的取值范围是
…………（10分）