银川九中2014-2015学年度第二学期第一次模拟试卷

高三年级数学（文科）试卷 （本试卷满分150分） 命题人： （注：班级.姓名.学号.座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记）

选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1．已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．命题“
”的否定是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．双曲线
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的图象（ ）

（A）关于原点对称 （B）关于
轴对称

（C）关于
轴对称 （D）关于直线
对称

5．已知条件
或
，条件
，且
是
的充分不必要条件，则
的取值范围是（　　）

　 （A）
（B）
（C）
（D）

6．已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2
=
+
(n≥2),则a6等于 （　　）

（A）16 （B）8 （C） 2
（D）4

7．已知
分别是△
的三个内角
所对的边长，若
，
，
，则

（A）1 （B）
（C）
（D）

8．把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再将图象向右平移
个 单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）。

A．
B．
C．
D．

9．程序框图如图所示：

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入(　　)

A．K≤11? B．K≤10? C．K＜9?　 D．K＜10?　

10．在平面区域
内随机取一点，则所取的点恰好落在圆
内的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．设函数
是定义在
上的奇函数，且
，
．当
时，
，则
的值为（ ）

（A）
（B）0 （C）
（D）1

12．已知椭圆
的左焦点为
与过原点的直线相交于
两点，连接
若
则
的离心率为 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．已知向量

，向量
，则
在
方向上的投影为__ _。

14．已知函数
满足
且
，则
=

15．在三棱锥
中，侧棱
两两垂直，
，

则三棱锥的外接球的表面积为

16．若点P是曲线
上任意一点，则点P到直线
的最小距离为

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）

17．（本题满分12分）在等差数列
中，
为其前n项和
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

18．（本题满分12分）如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,

E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证:AF//平面PCE;

(2)求证:平面
平面PCD;

(3)求四面体PEFC的体积.

19．（本题满分12分）从某小区抽取100个家庭进行月用电量调查，发现其月用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．

（1）根据直方图求
的值，并估计该小区100个家庭的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）从该小区已抽取的100个家庭中, 随机抽取月用电量超过300度的2个家庭，参加电视台举办的环保互动活动，求家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．

20．（本题满分12分）已知椭圆
的长轴长为4，且点
在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为
的直线
交椭圆于
两点，若
，求直线
的方程。

21．（本题满分12分）已知函数
.

（1）求
的单调区间和最小值；

（2）若对任意
恒成立，求实数m的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.

(Ⅰ)证明CA是△ABC外接圆的直径;

(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.



23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与
轴非负半轴重合．直线
的参数方程为：
（
为参数），曲线
的极坐标方程为：
．

（1）写出曲线
的直角坐标方程，并指明
是什么曲线；

（2）设直线
与曲线
相交于
两点，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)＞a.

(1)当a＝1时，解这个不等式；

(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R.

银川九中高三文科数学第一次模拟试卷答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

A

C

A

D

A

C

D

B

D

C



二、填空题：

13．2 14．1023 15．14π 16．

三、解答题：

17． 在等差数列
中，
为其前n项和
，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式； （Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

解析：(Ⅰ)设等差数列的公差是

由已知条件得
解得
∴
.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
，∴

18．

18． 如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,
E、F分别是AB、PD的中点.

(1)求证:AF//平面PCE;

(2)求证:平面
平面PCD;

(3)求四面体PEFC的体积.

解析：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG

CD，AE

CD，∴FG
AE，∴AF∥GE，∵GE
平面PEC，∴AF∥平面PCE；

（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD
平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF
平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE
平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD；

(3)由(2)知GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD,所以GF⊥PD,
,所以四面体PEFC的体积
.

19．从某小区抽取100个家庭进行月用电量调查，发现其月用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．

（1）根据直方图求
的值，并估计该小区100个家庭的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）从该小区已抽取的100个家庭中, 随机抽取月用电量超过300度的2个家庭，参加电视台举办的环保互动活动，求家庭甲（月用电量超过300度）被选中的概率．

【知识点】统计；概率 I4 K1

【答案】【解析】(1)0.0044(2)
解析：（1）由题意得，

.

设该小区100个家庭的月均用电量为S

则

9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186.

，所以用电量超过300度的家庭共有6个.

分别令为甲、A、B、C、D、E，则从中任取两个，有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）、（A,B)、（A,C)、(A,D)、(A,E)、(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E)、(D,E)15种等可能的基本事件，其中甲被选中的基本事件有（甲，A）、（甲，B）、（甲，C）、（甲，D）、（甲，E）5种.

家庭甲被选中的概率
.

20．已知椭圆
的长轴长为4，且点
在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为
的直线
交椭圆于
两点，若
，求直线
的方程。

【答案】【解析】（1）
（2）

解析：（Ⅰ）由题意
．所求椭圆方程为
．

又点
在椭圆上，可得
．所求椭圆方程为
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，所以
，椭圆右焦点为
．

则直线
的方程为
． 由
可得
．　

由于直线
过椭圆右焦点，可知
．

设
，则
，

．

所以
．

由
，即
，可得
．

所以直线
的方程为
． 　　　　　　　　　　

21． 已知函数
.

（1）求
的单调区间和最小值；

（2）若对任意
恒成立，求实数m的最大值．

解析：（1)

，
，

有
，
函数
在
上递增；
有
，
函数
在
上递减；

在
处取得最小值，最小值为
；

(2)
，即
，又

，令

令
，解得
或
（舍）

当
时，
，函数
在
上递减

当
时，
，函数
在
上递增

h(x)的最小值=h(1)=4，得 m≤4,即
的最大值4.

22．如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.

(Ⅰ)证明CA是△ABC外接圆的直径;

(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.



解析：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠BCB=∠A，由题设知：=, 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC=∠EFA。

因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90?

所以∠CBA=90?，因此CA是△ABC外接圆的直径；……………………5分



（2）连结CE，因为∠CBE=90?，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2 =DB·BA=2DB2，所以CA2=4DB2+BC2=6DB2 ，而DC2=DB·DA=3DB2，

故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为………………10分

23． 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与
轴非负半轴重合．直线
的参数方程为：