银川九中2015届高三年级第一次模拟数学(理科)试卷

（时间：120分钟 满分：150分） 出卷人

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．复数
为纯虚数，则它的共轭复数是( )

A.
B.
C.
D.

2. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；

(3)是偶函数.这样的函数是 ( )

A. y＝x3＋1 B. y＝log2(|x|＋2) C. y＝()|x| D. y＝2|x|

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5= （ ）

A.33 B.72 C.84 D.189

4．角
的终边经过点A
，且点A在抛物线
的准线上，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的
值为31，则
等于（ ）

A．
B．

C．
D．

6.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm3)（ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线
＝1的离心率为（ ）

A．
B．
C．
与
D．以上都不对

8．曲线y=
在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．－
C．
D．

9.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 （ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

10．设函数
，且其图象关于直线
对称，则（ ）

A．
的最小正周期为
，且在
上为增函数

B．
的最小正周期为
，且在
上为减函数

C．
的最小正周期为
，且在
上为增函数

D．
的最小正周期为
，且在
上为减函数

11.已知正方形ABCD的边长为2，点P,Q分别是边AB，BC边上的动点且
，则
的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12. 已知
,若
在
上恒成立,则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程）

13.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 .

14. 已知圆C：x2+y2-6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .

15． 如图,为了测得河的宽度CD，在一岸边选定两点A、B，使A、B、D在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m，则河的宽度是 .

16.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为
和2，则该球的体积为 ；

三、解答题：本大题共解答5题，共60分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．

17.（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）设函数
的图像的顶点的纵坐标构成数列
，求证：
为等差数列；

（Ⅱ）设函数
的图像的顶点到
轴的距离构成数列
，求
的前
项和
．

18. （本小题满分12分）为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10.

（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5】的概率约是多少？

（2）从尺码落在区间（37.5，43.5】和（43.5，45.5】的顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5】内的人数为X，求X的分布列及数学期望EX。



19. （本小题满分12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE；

(3)求二面角A－BE－D的大小．

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，长为
的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，
．记点P的轨迹为曲线E．

（I）求曲线E的方程；

（ II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，

当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．

21．（本小题满分12分） 已知
.

（I）求函数f（x）的最小值；

（ II）当x> 2a,证明：

四、选做题：（本小题满分10分。请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．

（I）求∠ABC的度数：

（ II）求证：BD=4EF．

23．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cos
+sin
），P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=
OP，点Q的轨迹为C2。

（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（II）已知直线l的参数方程为
（t为参数，0≤
<
），

l与曲线C2有且只有一个公共点，求
的值．

24．（本题满分10分）选修4—5:不等式选讲

设f（x）=|x|+2|x-a|（a>0）．

（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；

（ II）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围

2015届银川九中高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

C

C

B

D

A

C

A

B

B

C

B



二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，)

13．（
,-1） 14．
15．60 m 16．

三、解答题：（本大题共解答5题，共60分．

17．(本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
，

∴
， ---------2分

∴
，

∴数列
为等差数列． ---------4分

（Ⅱ）由题意知，
， ---------6分

∴当
时，
，

----8分

当
时，
，

．---------10分

∴
．　 ---------12分

18．(本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图第四组第五组的频率分别为0.175，0.075.再由频率之比和互斥事件的的和事件的概率等于概率之和：P=0.25+0.375+0.175=0.8 ------------5分

（2）设抽取的顾客人数为n，则由已知可得n=40.尺码落在区间（43.5，45.5】的人数为3人，所以可知X可能取到的值为0，1，2.又尺码落在区间（37.5，43.5】的人数为10人，所以: P(X=0)=
, P(X=1)=
, P(X=2)=
------11分

所以X的数学期望EX=
----12分

19．(本小题满分12分）

[解析]　(1)设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.

(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图以C为原点，建立空间直角坐标系C—xyz.则C(0,0,0)，A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，，1)．所以＝(，，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE.

(3)由(2)知，＝(，，1)，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.

即

所以x＝0，z＝y.令y＝1，则z＝.

所以n＝(0,1，)，从而cos〈n，〉＝＝

因为二面角A—BE—D为锐角，所以二面角A—BE—D的大小为.

20．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．

由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，

∴得 ---------2分

由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，

∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，

整理，得曲线E的方程为x2＋＝1． ---------5分

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．

设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得

(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝－， ---------7分

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，

由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，

即＋＝1，解得k2＝2． ---------9分

这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，

原点到直线l的距离d＝＝，

平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝． ---------12分

21．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）f?(x)＝x－＝． ---------1分

当x∈(0，a)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减；

当x∈(a，＋∞)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增．

当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝a2－a2lna． ---------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(2a，＋∞)单调递增，

则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)＞0． ---------7分

设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，

则当x＞2a时，

g?(x)＝f?(x)－a＝x－－a＝＞0， ---------9分

所以g(x)在[2a，＋∞)上单调递增，

当x＞2a时，g(x)＞g(2a)＝0，即f(x)－f(2a)－a(x－2a)＞0，

故＞a．

四、选做题（本小题满分10分）

22．选修4－1：几何证明选讲

22解：（Ⅰ）连结OA、AD．

∵AC是圆O的切线，OA＝OB，

∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， ---------2分

又AD是Rt△OAC斜边上的中线，

∴AD＝OD＝DC＝OA，

∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60?，

故∠ABC＝∠AOD＝30?． ---------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60?，

∴EA＝AB＝×BD＝BD，

EB＝AB＝×BD＝BD， ---------7分

由切割线定理，得EA2＝EF×EB，

∴BD2＝EF×BD， ∴BD＝4EF． --------10分

23．选修4—4：坐标系与参数方程

解：

（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则

ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，

点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)， ---------3分

两边同乘以ρ，得ρ2＝2