张掖市高三年级2015年4月诊断考试

数学（理科）试卷

命题人：临泽一中 刘 义 审题人：临泽一中 魏正清 终审人：山丹一中 何 涛

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填图在答题卡上）

1.设全集是实数集R，
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.设
是虚数单位，若复数
满足
，则复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 在
中，
则AC为（ ）

A．
B. 1 C. 2 D.

4.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系
、
、

三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（ ）

A．94 B．32 C．64 D．16

5.如图所示的程序框图,
，则输出的S值为（ ）

A．2 B．-2 C．-1 D．1

6.已知直线
平面
，直线
平面
，给出下列命题：（1）

（2）
，（3）
，（4）
，其中正确的是（ ）

A. (1)(2)(3) B. (2)(3)(4) C.(2)(4) D.(1)(3)

7.已知抛物线C：
上一点M
到抛物线C的焦点的距离为5，则
的展开式中的常数项为（ ）

A. -24 B. -6 C. 6 D. 24

8.下列说法正确的是 （ ）

A．命题“

，
”的否定是“

，
”

B．命题 “函数
与函数
的图象相同”是真命题

C．命题：“设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1

D.命题“若
，则函数
只有一个零点”的逆命题为真命题

9. 同时具有性质①最小正周期是
；②图像关于直线
对称；③在
上是增函数的一个函数是（ ）

A．
　B．
　 C．
　D．

10.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

11.已知

，

是椭圆
的左右两个焦点，
为椭圆上的一点，且
，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A.
B.
C.
D.

12.已知
函数则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上）

13.某用人单位从甲、乙、丙、丁共4名应聘者中招聘2人，若每个应聘者被录用的机会均等，

则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为 ．

14. 设实数
满足约束条件
，则点
所在平面区域的面积为___________.

15.设实数
满足
，向量
．若
，则实数
的最小值为 ．

16.如图，在四棱锥
中，
两两互相垂直，且
设
是底面三角形ABC内一点，定义
其中
分别是三棱锥

的体积.

若
且
恒成立，则正实数
的最小值是_______________.

三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（12分）已知数列
满足：
,
，
.

（1）求证：
是等差数列，并求出
；

（2）证明：
.

18.（12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面
为正三角形，且
，点A在下底面的射影是
的中心O.

（1）求证：
;

（2）求二面角
的平面角的余弦值.

19.（12分）经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C三种商品有购买意向.该淘宝小店推出买一件送5元优惠券的活动.已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为
，
至少购买一件的概率为
，最多购买两件种商品的概率为
.假设该网民是否购买这三种商品相互独立.

（1）求该网民分别购买A,B两种商品的概率；

（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望.

20.（12分）已知椭圆C:
的离心率为
，且过点（1，
）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设与圆
相切的直线
交椭圆C与A,B两点，M为圆
上的动点，求
面积的最大值，及取得最大值时的直线
的方程.

21.（12分）已知函数
.

（1）证明：
；

（2）若当
，
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. （10分）《选修4—1：几何证明选讲》

如图：
是⊙
的直径，
是弧
的中点，

，垂足为
，
交
于点
.

（1）求证：
；

（2）若
，⊙
的半径为6，求
的长.

23. （10分）《选修4—4：参数方程选讲》

已知平面直角坐标系
中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
点的极坐标为
, 曲线
的极坐标方程为
.

(1)写出点
的直角坐标及曲线
的普通方程；

(2)若
为
上的动点,求
中点
到直线
(
为参数)距离的最大值.

24. （10分）《选修4—5：不等式选讲》

已知函数
.

（1）若
恒成立，求
的取值范围；

（2）若
证明：
.

张掖市高三年级2015年4月诊断考试

理科数学参考答案

一、ADBBA DDBCA DB

二、13.
14.
15. -2 16. 1

三、

17.（1）得出
——————————2分

为首项，2为公差的等差数列——3分

——————————————4分

——————————————6分

（2）

——――――――8分

—――—10分

—――—12分

18．法一：（1）得出B1C1垂直与面AA1O————4分

得出
————————6分

（2）过B1做B1E垂直与AA1连结C1E，角B1EC1就是所求二面角————8分

由等面积法得出B1E=
，————————————10分

由余弦定理得出 ————————————12分

法二：（1）向量法：建系2分，坐标2分，证明2分。

（2）两个法向量各2分，

————————12分

如图建系

设
,
,

则
,
,

,

平面
的法向量为
―――――2分

平面
的法向量为
―――――4分

故所求二面角的平面角的余弦值为
―――――6分

19.（1）
——————————4分

——-————————6分

（2）X＝0,5，10,15

――――――――8分

X

0

5

10

15



P

1/24

1/4

11/24

1/4



——————————————10分

E(x)=115/12————————12分

20. 解析：（1）由题意可得：
——————————————2分

————————————4分（2）①当k不存在时，
——————5分

②当k存在时，设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)

——————————7分

—————————8分


———————10分

，

,
————————————12分

21. （1）
————————————2分

————————4分

——---------------------------5分

（2）令

令
——————————7分

（1）a<0时，

与已知矛盾；

（2）a=0,

与已知矛盾；---9分

(3)

与已知矛盾；

(4)

恒成立。————————————————11分

综上所述：
——————————————————-12分

法二：

x=0,
成立，——————————6分

x>0时，

————————————7分

——---------8分

只需证明

令

，y=g(x)递减，
恒成立，

即
恒成立————————————11分

总上所述：
——————————12分

22.（Ⅰ）证法一:连接CO交BD于点M，如图1 …………1分

∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD

又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ………………2分

∴∠OCE=∠OBM ……………………………3分

又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC …………………………4分

∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF ……………………………………5分

证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2……………………………1分

∵AB是直径且CN⊥AB于点E.

∴∠NCB=∠CNB……………………………………2分

又∵C为弧BD的中点 ∴∠CBD=∠CNB……3分

∴∠NCB=∠CBD

即∠FCB=∠CBF………………………………………………………………4分

∴CF=BF…………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）∵O,M分别为AB,BD的中点

∴OM=2OE ∴EB=4 ……………………………………………7分

在Rt△COE中，
…………………………………9分

∴在Rt△CEB中，
………………………………10分

23.解析：(1)
，

点
的直角坐标为
………………………………………2分

由
得：
即

曲线
的普通方程为:
………………………………………5分

(2)由
可得直线
的普通方程为
………………6分

由曲线
的普通方程:
可设点